Angoli alla circonferenza

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Definizioni

Si definisce angolo alla circonferenza un angolo convesso che ha il vertice su di una circonferenza, e i lati secanti o tangenti alla stessa circonferenza.

Angoli alla circonferenza

L'intersezione tra un angolo alla circonferenza e la circonferenza stessa è un arco, e si dice che la circonferenza insiste su tale arco.

Dato un angolo alla circonferenza, si dice angolo al centro corrispondente ad esso l'angolo al centro che insiste sullo stesso arco.

Notiamo che la corrispondenza tra angoli alla circonferenza e archi, così come quella tra angoli alla circonferenza e angoli al centro, non è biunivoca; infatti, un angolo alla circonferenza insiste su un solo arco, ma su un arco possono insistere infiniti angoli alla circonferenza; così come ad un angolo alla circonferenza corrisponde un solo angolo al centro, ma ad un angolo al centro corrispondono infiniti angoli alla circonferenza.

Vediamo ora un teorema che stabilisce una relazione tra angoli alla circonferenza e corrispondenti angoli al centro:

Teorema: Ogni angolo alla circonferenza è congruente alla metà del corrispondente angolo al centro.

Vediamo ora alcune conseguenze del teorema precedente:

Gli angoli alla circonferenza che insistono su uno stesso arco o su archi congruenti sono congruente tra loro. Infatti, essi sono metà di uno stesso angolo al centro, o di angoli al centro congruenti tra loro;
In una stessa circonferenza, o in circonferenze congruenti, due archi su cui insistono angoli alla circonferenza congruenti sono congruenti tra loro;
due angoli alla circonferenza che insistono su archi esplementari cono supplementari, essendo la metà di angoli esplementari;
ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto; da ciò segue che ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo, che ha l'angolo retto come angolo alla circonferenza, e l'ipotenusa coincidente con il diametro della circonferenza.

Tangenti ad una circonferenza da un punto esterno

Sappiamo che ogni retta che passa per un punto interno ad una circonferenza è secante alla circonferenza stessa; possiamo affermare, quindi, che ogni retta che da un punto interno alla circonferenza non passa alcuna retta tangente alla circonferenza.

Inoltre, sappiamo che per un punto della circonferenza passa una ed una sola tangente; concludiamo che, volendo tracciare una retta tangente alla circonferenza, abbiamo bisogno di un punto sulla circonferenza, e di un punto esterno ad essa.

Teorema delle tangenti

I segmenti delle tangenti condotte da un punto esterno a una circonferenza e aventi come estremi tale punto e i punti di tangenza sono congruenti.

La retta passante per il punto da cui sono condotte le

tangenti e per il centro della circonferenza biseca l'angolo formato dai segmenti delle tangenti e l'angolo formato dai raggi aventi un estremo nei punti di tangenza, ed è inoltre asse del segmento che ha per estremi i punti di tangenza.

Teorema delle tangenti