Classificazione dei triangoli, disuguaglianze

Primo teorema dell’angolo esterno

In un triangolo qualunque ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti ad esso.

Vediamo ora alcune importanti conseguenze di questo teorema:

  • In un triangolo qualunque la somma di due angoli interni è minore dell’angolo piatto ( cioè, è minore di 180° );
  • Un triangolo non può avere due angoli retti;
  • Un triangolo non può avere due angoli ottusi;
  • Un triangolo non può avere un angolo retto e uno ottuso;
  • Un triangolo ha almeno due angoli acuti;
  • Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono sempre acuti.

Considerando il fatto che in un triangolo qualunque ci sono almeno due angoli acuti, possiamo classificare i triangoli in base ai loro angoli:

  • Un triangolo con tra angoli acuti i dice acutangolo;
  • Un triangolo con un angolo ottuso si dice ottusangolo;
  • Un triangolo con un angolo retto si dice rettangolo.

In un triangolo rettangolo, i lati adiacenti all’angolo retto si dicono cateti, mentre il lato opposto all’angolo retto si dice ipotenusa.

 

Disuguaglianze tra gli elementi di un triangolo

Triangolo con due lati disuguali

Se un triangolo ha due lati disuguali, ha pure disuguali gli angoli ad essi opposti; in particolare, al lato maggiore è opposto l’angolo maggiore.

Triangolo con due angoli disuguali

Se un triangolo ha due angoli disuguali, ha pure disuguali i lati ad essi opposti; in particolare, all’angolo maggiore è opposto il lato maggiore.

Dal precedente teorema derivano due importanti proprietà dei triangoli:

  1. In ogni triangolo rettangolo l’ipotenusa è maggiore di ciascuno dei due cateti;
  2. In ogni triangolo ottusangolo il lato opposto all’angolo ottuso è maggiore di ciascuno degli altri due lati.

 

Disuguaglianza triangolare

In un triangolo qualunque ciascun lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.

Un teorema simile riguarda anche i poligoni, e in particolare afferma che in un poligono ciascun lato è minore della somma di tutti gli altri.

 

Disuguaglianza tra gli elementi di due triangoli

Consideriamo due triangoli distinti; valgono i seguenti teoremi:

  1. In due triangoli, aventi due lati rispettivamente congruenti e l’angolo tra essi compreso disuguale, i terzi lati sono disuguali ed è maggiore quello opposto all’angolo maggiore;
  2. In due triangoli, aventi due lati rispettivamente congruenti e i terzi lati disuguali, al lato maggiore è opposto l’angolo maggiore.

 

Esistenza e unicità

Enunciamo alcuni teoremi relativi a bisettrici, segmenti e rette, che ci assicurano l’esistenza e l’unicità di questi enti geometrici.

Esistenza e unicità della bisettrice

Esiste sempre una semiretta e una sola che divide un angolo qualunque in due parti congruenti.

Esistenza e unicità del punto medio di un segmento

Esiste sempre, in un segmento qualunque, un punto e uno solo che divida il segmento in due parti congruenti.

Esistenza e unicità della perpendicolare da un punto ad una retta data

In un piano, per un punto passa una e una sola retta perpendicolare ad una retta data.

 

Altro materiale di supporto

Dimostrazione del Primo teorema sull’angolo esterno (fonte Wikipedia).

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