Il segmento: definizione
Data una retta (insieme infinito di punti disposti lungo una stessa direzione) si considerano due punti appartenenti alla retta; il segmento è la parte di retta compresa tra questi due punti, tali punti prendono il nome di estremi.In un altro modo il segmento può essere definito come la linea più corta che unisce i due punti o il percorso più corto che collega i due punti.
Considerata una retta e un punto appartenente ad essa, tale punto divide la retta in due parti chiamate semirette.
Un punto quindi divide una retta in due semirette.
Una retta ha una dimensione infinita in due direzioni mentre una semiretta è infinitamente estesa in una sola direzione.
Il segmento: confronto
Confrontare due segmenti significa stabilire se essi hanno la stessa lunghezza, o in caso negativo, quale dei due sia il più lungo. In maniera intuitiva, per farlo, occorre trasportare uno di essi e sovrapporlo all'altro.In geometria, per il confronto di segmenti, ci si serve del seguente postulato:
Trasporto del segmento: dato un segmento AB e una semiretta di origine O, esiste sulla semiretta uno, e uno solo, punto P tale che OP è congruente ad AB.
Se vogliamo confrontare due segmenti AB e CD, consideriamo la semiretta di origine C: per il postulato, sappiamo che esiste uno e un solo punto P su tale semiretta tale che (
Si possono presentare tre casi:
- se P è interno al segmento CD, allora AB è minore di CD;
- se P è esterno al segmento CD, allora AB è maggiore di CD;
- se P coincide con D, allora i due segmenti sono uguali.
Il segmento: operazioni tra segmenti
Nel caso di due o più segmenti disposti in modo adiacente, si può parlare di somma di segmenti; la somma di due segmenti adiacenti è il segmento che ha per estremi gli estremi non comuni dei segmenti dati.Si può, inoltre, definire anche la differenza fra due segmenti, che corrisponde a quel segmento che, se sommato al minore dei due segmenti di partenza, è congruente al maggiore.
Vediamo ora un postulato molto importante riguardante i segmenti:
Postulato: somme di segmenti rispettivamente congruenti sono congruenti; differenza di segmenti rispettivamente congruenti sono congruenti.
Dati quindi i segmenti AB, CD, A'B', C'D' abbiamo che:
[
Per la somma dei segmenti valgono le stesse proprietà della somma per i numeri:
- Proprietà commutativa: la somma di due o più segmenti non dipende dall'ordine con cui vengono sommati;
- Proprietà associativa: la somma di due o più segmenti non cambia se a più addendi si sostituisce la loro somma.
Il segmento: punto medio
Dato un segmento AB, il punto medio di tale segmento è il punto medio (M), interno al segmento stesso, e tale che (In questo caso, considerando il punto medio M del segmento AB, possiamo affermare che gli estremi del segmento, cioè i punti A e B, sono simmetrici rispetto ad M.
Rette e segmenti
Rette perpendicolari: due rette incidenti si dicono perpendicolari se, incontrandosi in un punto H, formano in corrispondenza di quel punto quattro angoli retti.
Consideriamo le rette perpendicolari r e s. Il punto di intersezione H viene detto piede della perpendicolare condotta da P alla retta r; inoltre, H rappresenta la proiezione del punto P sulla retta r.
Anche un intero segmento può essere proiettato su di una retta: si dice proiezione di un segmento AB su una retta r il segmento che ha per estremi le proiezioni sulla retta degli estremi del segmento dato.
In particolare, se il segmento AB giace su una retta perpendicolare a r, la sua proiezione su r sarà solamente un punto.
Per ulteriori approfondimenti sui posizioni reciproche tra due rette vedi anche qua
Distanza punto-retta:
la distanza di un punto da una retta corrisponde alla lunghezza del segmento perpendicolare condotto dal punto alla retta.
Asse di un segmento:
l'asse di un segmento è la retta passante per il punto medio del segmento e perpendicolare al segmento stesso.
Se si vuole trovare l’asse di un segmento è necessario prima tracciare il punto medio (punto equidistante dagli estremi del segmento), si traccia quindi la retta perpendicolare al segmento e che passa per il punto medio (tale retta formerà quindi con il segmento 4 angoli retti, di 90°), la retta tracciata è proprio l’asse del segmento.
L’asse di un segmento è un elemento molto importante in geometria, ad esempio l’altezza di un triangolo isoscele è anche l’asse della base; ciò implica che l’altezza cade perpendicolarmente alla base del triangolo e divide la base in due segmenti congruenti.
Per ulteriori approfondimenti sul triangolo isoscele vedi anche qua
