Operazioni con i segmenti

Confronto di segmenti

Confrontare due segmenti significa stabilire se essi hanno la stessa lunghezza, o in caso negativo, quale dei due sia il più lungo. In maniera intuitiva, per farlo, occorre trasportare uno di essi e sovrapporlo all’altro. In geometria, per il confronto di segmenti, ci si serve del seguente postulato:

Trasporto del segmento: dato un segmento AB e una semiretta di origine O, esiste sulla semiretta uno, e uno solo, punto P tale che OP è congruente ad AB.

Se vogliamo confrontare due segmenti AB e CD, consideriamo la semiretta di origine C: per il postulato, sappiamo che esiste uno e un solo punto P su tale semiretta tale che \(CP\cong AB\).

Si possono presentare tre casi:

  • se P è interno al segmento CD, allora AB è minore di CD;
  • se P è esterno al segmento CD, allora AB è maggiore di CD;
  • se P coincide con D, allora i due segmenti sono uguali.

 

Confronto tra segmenti

 

 

 

 

 

 

 

Somma e differenza di segmenti

Nel caso di due o più segmenti che sono adiacenti, si può parlare di somma di segmenti; la somma di due segmenti adiacenti è il segmento che ha per estremi gli estremi non comuni dei segmenti dati.

Si può, inoltre, definire anche la differenza fra due segmenti, che corrisponde a quel segmento che, se sommato al minore dei due segmenti di partenza, è congruente al maggiore.

Vediamo ora un postulato molto importante riguardante i segmenti:

Postulato: somme di segmenti rispettivamente congruenti sono congruenti; differenza di segmenti rispettivamente congruenti sono congruenti;

Dati quindi i segmenti AB, CD, A’B’, C’D’ abbiamo che:

\[AB\cong A’B’\wedge CD\cong C’D’\Rightarrow AB+CD\cong A’B’+C’D’\]

Per la somma dei segmenti valgono le stesse proprietà della somma per i numeri:

  • Proprietà commutativa: la somma di due o più segmenti non dipende dall’ordine con cui vengono sommati;
  • Proprietà associativa: la somma di due o più segmenti non cambia se a più addendi si sostituisce la loro somma.

Multiplo di un segmento: Dato un segmento AB, sommando tra loro un numero \(n \gt 1\) di segmenti congruenti ad AB, otteniamo un segmento multiplo del segmento AB.

Punto medio di un segmento: Dato un segmento AB, il punto medio di tale segmento è il punto M, interno al segmento stesso, e tale che \(AM\cong MB\).

In questo caso, considerando il punto medio M del segmento AB, possiamo affermare che gli estremi del segmento, cioè i punti A e B, sono simmetrici rispetto ad M.

 

Rette e segmenti

Rette perpendicolari: due rette incidenti si dicono perpendicolari se, incontrandosi in un punto H, formano in corrispondenza di quel punto quattro angoli retti.

 

Rette perpendicolari

 

 

 

 

 

 

 

Consideriamo le rette perpendicolari r e s. Il punto di intersezione H viene detto piede della perpendicolare condotta da P alla retta r; inoltre, H rappresenta la proiezione del punto P sulla retta r.

Anche un intero segmento può essere proiettato su di una retta: si dice proiezione di un segmento AB su una retta r il segmento che ha per estremi le proiezioni sulla retta degli estremi del segmento dato.

In particolare, se il segmento AB giace su una retta perpendicolare a r, la sua proiezione su r sarà solamente un punto.

Distanza punto-retta: la distanza di un punto da una retta corrisponde alla lunghezza segmento perpendicolare condotto dal punto alla retta.

Asse di un segmento: l’asse di un segmento è la retta passante per il punto medio del segmento e perpendicolare al segmento. Asse di un segmento

 

 

 

 

 

 

 

 

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