Teorema di Talete
Iniziamo subito con l'enunciato del teorema di Talete. Non ci occuperemo in questa sede della sua dimostrazione, perché concentreremo maggiormente la nostra attenzione sulle sue conseguenze.
Enunciato del teorema di Talete
Un fascio di rette parallele determina, su due trasversali, due insiemi di segmenti le cui lunghezze sono direttamente proporzionali.
Guardando la figura qui sopra, il teorema di Talete ti consente di concludere, cioè, che:
Il teorema di Talete si può anche invertire. Partiamo cioè dai segmenti proporzionali e ricaviamo da ciò il parallelismo tra le rette.
Enunciato dell'inverso del teorema di Talete
Se i segmenti compresi tra rette tagliate da due trasversali formano due insiemi di segmenti proporzionali e se, inoltre, sono parallele due rette che congiungono due coppie di punti corrispondenti allora anche le altre rette sono parallele alle prime due.
Le applicazioni ai triangoli del teorema di Talete
Come abbiamo detto, l'importanza del teorema di Talete è tutta nelle sue conseguenze. Una di queste, molto importante, riguarda i triangoli. Si tratta del teorema della parallela ad un lato del triangolo.
Il teorema della parallela ad un lato del triangolo
Se la parallela ad un lato di un triangolo interseca gli altri due lati, li divide in parti proporzionali; se non li interseca, determina sui loro prolungamenti segmenti proporzionali ai lati.
Dalla figura si osserva che la retta DE risulta parallela al lato AB. Essa interseca gli altri due lati del triangolo, pertanto determina su di essi dei segmenti proporzionali. In particolare, si ha che:
Questo teorema, così come il teorema di Talete, si può anche invertire.
Inverso del teorema della parallela ad un lato del triangolo
Se una retta divide i due lati di un triangolo in parti proporzionali, o se determina sui prolungamenti di due lati segmenti a essi proporzionali, essa è parallela al terzo lato.Per ulteriori approfondimenti sul teorema di Talete vedi anche qua
Similitudine dei triangoli
In questo paragrafo ci occupiamo di similitudine tra triangoli. Si tratta di un concetto molto importante. Basti pensare che due poligoni sono simili se i triangoli che li compongono lo sono. Per questo motivo, è di fondamentale importanza trovare un modo per stabilire se due triangoli sono simili o meno.Due triangoli si dicono simili se i loro angoli sono rispettivamente congruenti e i lati opposti agli angoli congruenti sono in proporzione.
Osservando i due triangoli in figura, abbiamo che:
In due triangoli simili, si dicono corrispondenti o omologhi i vertici degli angoli congruenti e i lati opposti ad essi.
Il rapporto tra due lati corrispondenti di due triangoli simili è costante, e non dipende dai lati considerati. Questa costante prende il nome di rapporto di similitudine.
Il rapporto di similitudine è il rapporto tra un lato del primo triangolo e il corrispondente lato del secondo triangolo.
La similitudine dei triangoli è una relazione di equivalenza, infatti:
- ogni triangolo è simile a se stesso (proprietà riflessiva);
- se [math]ABC[/math]è simile a[math]A'B'C'[/math], allora anche[math]A'B'C'[/math]è simile a[math]ABC [/math](proprietà simmetrica);
- se due triangoli sono simili ad un terzo, allora essi sono anche simili fra loro (proprietà transitiva).
Vediamo, d'ora in avanti, alcuni criteri che ci permettono di stabilire se due triangoli sono simili tra loro.
Criteri di similitudine per i triangoli e proprietà dei triangoli simili
In questo paragrafo, elenchiamo i criteri di similitudine per i triangoli ed alcuni loro importanti corollari.Primo criterio di similitudine: due triangoli sono simili se hanno due angoli rispettivamente congruenti.
Da questo criterio derivano alcuni importanti corollari:
Corollario 1: Una retta parallela a un lato di un triangolo determina, con le rette degli altri due lati, un triangolo simile al triangolo dato.
Corollario 2: Due triangolo isosceli che hanno congruenti gli angoli al vertice oppure gli angoli alla base sono simili.
Secondo criterio di similitudine dei triangoli: due triangoli aventi i lati rispettivamente proporzionali e l'angolo tra essi compreso congruente sono simili.
In particolare, abbiamo che due triangoli rettangoli aventi i cateti rispettivamente proporzionali sono simili, infatti l'angolo fra essi compreso misura in entrambi 90°.
Terzo criterio di similitudine dei triangoli: due triangoli aventi i lati rispettivamente proporzionali sono simili.
Quarto criterio di similitudine dei triangoli: due triangoli rettangoli sono simili se hanno l'ipotenusa e un cateto rispettivamente proporzionali.
Un'altra osservazione importante da fare è che nei triangoli simili la proporzionalità non riguarda solo i lati, ma si estende a tutti i segmenti corrispondenti dei due triangoli.
In particolare, in due triangoli simili sono proporzionali:
- le altezze relative ai lati corrispondenti
- le mediane relative al lati corrispondenti
- le bisettrici relative ad angoli corrispondenti
- i perimetri
Per ulteriori approfondimenti sui triangoli vedi anche qua
Poligoni simili e loro proprietà
Dopo aver parlato di triangoli simili, in quest'ultimo paragrafo vedremo le proprietà dei più generali poligoni simili. Come detto, proprio nella definizione di poligoni simili c'è un richiamo al concetto di similitudine tra triangoli.Due poligoni si dicono simili se tra i loro vertici è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca in modo che gli angoli con vertici corrispondenti siano congruenti e i lati con estremi corrispondenti siano proporzionali.
In particolare, se da due vertici corrispondenti di due poligoni simili si conducono tutte le diagonali, i poligoni restano divisi nello stesso numero di triangoli rispettivamente simili.
Questo ci porta ad enunciare il seguente teorema:
Se, conducendo tutte le diagonali da due vertici di due poligoni con lo stesso numero di lati, i poligoni restano divisi nello stesso numero di triangoli rispettivamente simili, allora i due poligoni sono simili.
I poligoni simili godono di alcune notevoli proprietà, che elenchiamo:
Teorema: In due poligoni simili le diagonali corrispondenti e i perimetri sono proporzionali ai lati.
Teorema: Se due poligoni sono simili e uno di essi è inscrivibile in una circonferenza, anche l'altro poligono è inscrivibile in una circonferenza e i raggi delle due circonferenze sono proporzionali al lati.
Teorema: Se due poligoni sono simili e uno di essi è circoscrivibile a una circonferenza, anche l'altro poligono è circoscrivibile a una circonferenza e i raggi delle due circonferenze sono proporzionali al lati.
Teorema: Se due poligoni regolari hanno lo stesso numero di lati, essi sono simili.
