Teorema di Talete e poligoni simili

Teorema di Talete

Enunciato del teorema di Talete:Teorema di Talete

Un fascio di rette parallele determina, su due trasversali, due insiemi di segmenti le cui lunghezze sono direttamente proporzionali.

Teorema: Se i segmenti determinati da due rette parallele su due trasversali sono divisi da una terza retta in parti proporzionali, la terza retta è parallela alle prime due.

Teorema (parallela ad un lato di un triangolo ):

Se la parallela ad un lato di un triangolo interseca gli altri due lati, li divide in parti proporzionali; se non li interseca, determina sui loro prolungamenti segmenti proporzionali ai lati.

 

Teorema (parallela ad un lato del triangolo)

 

Teorema: Se una retta divide i due lati di un triangolo in parti proporzionali, o se determina sui prolungamenti di due lati segmenti a essi proporzionali, essa è parallela al terzo lato.

 

Similitudine dei triangoli

Due triangoli si dicono simili se i loro angoli sono rispettivamente congruenti e i lati opposti agli angoli congruenti sono proporzionali.

Ad esempio, consideriamo i due triangoli simili in figura, abbiamo che

Similitudine dei triangoli

\[a:b=a’:b’\] \[b:c=b’:c’\] \[c:a=c’:a’\]

\[ \hat{A}\cong\hat{A’};\,\,\hat{B}\cong\hat{B’};\,\,\hat{C}\cong\hat{C’}\]

In due triangoli simili, si dicono corrispondenti o omologhi i vertici degli angoli congruenti e i lati opposti ad essi.

Il rapporto tra due lati corrispondenti di due triangoli simili è costante, e non dipende dai lati considerati.

Rapporto di similitudine

Il rapporto di similitudine è il rapporto tra un lato del primo triangolo e il corrispondente lato del secondo triangolo.

La similitudine dei triangoli è una relazione di equivalenza, infatti:

  • ogni triangolo è simile a se stesso (proprietà riflessiva);
  • se ABC è simile a A’B’C’, allora anche A’B’C’ è simile a ABC (proprietà simmetrica);
  • se due triangoli sono simili a dune terzo, allora essi sono anche simili fra loro (proprietà transitiva).

Vediamo ora alcuni criteri che ci permettono di stabilire se due triangoli sono simili tra loro.

 

Primo criterio di similitudine dei triangoli

Due triangoli sono simili se hanno due angoli rispettivamente congruenti.

 

Primo criterio di similitudine dei triangoli

 

Da questo criterio derivano alcuni importanti corollari:

Corollario 1: Una retta parallela a un lato di un triangolo determina, con le rette degli altri due lati, un triangolo simile al triangolo dato.

Corollario 2: Due triangolo isosceli che hanno congruenti gli angoli al vertice oppure gli angoli alla base sono simili.

 

Secondo criterio di similitudine dei triangoli

Due triangoli aventi i lati rispettivamente proporzionali e l’angolo tra essi compreso congruente sono simili.

 

Secondo criterio di similitudine dei triangoli

 

In particolare, abbiamo che: due triangoli rettangoli aventi i cateti rispettivamente proporzionali sono simili, infatti l’angolo fra essi compreso misura in entrambi 90°.

 

Terzo criterio di similitudine dei triangoli

Due triangoli aventi i lati rispettivamente proporzionali sono simili.

 

Terzo criterio di similitudine dei triangoli

 

Quarto criterio di similitudine dei triangoli

Due triangoli rettangoli sono simili se hanno l’ipotenusa e un cateto rispettivamente proporzionali.

 

Quarto criterio di similitudine dei triangoli

 

Proprietà dei triangoli simili

Nei triangoli simili la proporzionalità non riguarda solo i lati, ma si estende a tutti i segmenti corrispondenti dei due triangoli.

In particolare, in due triangoli simili sono:

  • le altezze relative ai lati corrispondenti,
  • le mediane relative al lati corrispondenti,
  • le bisettrici relative ad angoli corrispondenti,
  • i perimetri

sono proporzionali ai lati.

 

Poligoni simili

Due poligoni si dicono simili se tra i loro vertici è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca in modo che gli angoli con vertici corrispondenti siano congruenti e i lati con estremi corrispondenti siano proporzionali.

In particolare, se da due vertici corrispondenti di due poligoni simili si conducono tutte le diagonali, i poligoni restano divisi nello stesso numero di triangoli rispettivamente simili.

Teorema: Se, conducendo tutte le diagonali da due vertici di due poligoni con lo stesso numero di lati, i poligoni restano divisi nello stesso numero di triangoli rispettivamente simili, allora i due poligoni sono simili.

 

Proprietà dei poligoni simili

Teorema: In due poligoni simili le diagonali corrispondenti e i perimetri sono proporzionali ai lati.

Teorema: Se due poligoni sono simili e uno di essi è inscrivibile in una circonferenza, anche l‘altro poligono è inscrivibile in una circonferenza e i raggi delle due circonferenze sono proporzionali al lati.

Teorema: Se due poligoni sono simili e uno di essi è circoscrivibile a una circonferenza, anche l‘altro poligono è circoscrivibile a una circonferenza e i raggi delle due circonferenze sono proporzionali al lati.

Teorema: Se due poligoni regolari hanno lo stesso numero di lati, essi sono simili.

 

Altro materiale di supporto

Approfondisci l’argomento leggendo il capitolo Similitudine nel manuale Geometria Razionale del progetto Matematica C3 (include svariati esercizi).

 

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