Spiegazione ed applicazione delle formule di duplicazione e bisezione

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In questo appunto parleremo delle formule di duplicazione utilizzate in geometria analitica, per calcolare il valore della funzione goniometrica seno di angoli aventi ampiezza

[math]2 \alpha [/math]

, essendo l’angolo

[math]\alpha[/math]

un angolo noto, di cui quindi conosciamo il seno, il coseno, la tangente e la cotangente.

Formula di duplicazione della funzione seno

Supponiamo di voler calcolare il seno di un angolo

[math]\gamma[/math]

Sapendo che

[math]\gamma = 2 \alpha[/math]

, dove

[math]\alpha[/math]

è un angolo di cui possiamo calcolare il seno e il coseno, per poter calcolare il seno possiamo applicare la seguente formula:

[math] \sin{\gamma}=\sin(2 \alpha)=2 \sin{\alpha} \cos{\alpha} [/math]

Questa formula è nota anche come Formula di duplicazione della funzione seno. Per capire come l’abbiamo ottenuta, seguiamo la seguente dimostrazione.
Dimostrazione:
Dalle formule di addizione della funzione seno, sappiamo che:

[math] \sin{\alpha + \beta}= \sin{\alpha} \cos{\beta}+ \cos{\alpha} \sin{\beta} [/math]

Se:

[math] \alpha=\beta \Rightarrow \sin{\alpha + \alpha}= \sin{\alpha} \cos{\alpha }+ \cos{\alpha} \sin{\alpha}= 2 \sin{\alpha} \cos{\alpha} [/math]

Per togliere ogni dubbio a riguardo, guardate il prossimo esempio numerico:
Supponiamo di voler calcolare il

[math] \sin{\gamma}[/math]

, dove

[math] \gamma = 90° [/math]

, allora possiamo scrivere che:

[math] \gamma=2 \alpha= 90° \Rightarrow \alpha=45° [/math]

Bene, applicando la formula di duplicazione della funzione seno, possiamo facilmente calcolare il valore di

[math] \sin{\gamma}[/math]

, ovvero:

[math] \sin{\gamma}=\sin{2 \alpha}=2 \sin{\alpha} \cos{\alpha} = 2 \sin{45°} \cos{45°} [/math]

Dal formulario della funzione seno e coseno sappiamo che:

[math] \sin{45°} = \cos{45°} =\frac{\sqrt{2}}{2} [/math]

Sostituiamo nell’equazione precedente e otteniamo che:

[math] \sin{\gamma}=\sin{2 \alpha}=2 \sin{\alpha} \cos{\alpha} = 2 \sin{45°} \cos{45°} = 2 \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4}{4} =1 [/math]

N.B Dalle proprietà delle radici il prodotto di due radici è:

[math] \sqrt{2} \sqrt{2} = 2[/math]

Ritornando al risultato ottenuto

[math] \sin{\gamma}=1 [/math]

, era proprio quello che ci aspettavamo.
Adesso che conosciamo la formula di duplicazione della funzione seno, non ci resta che conoscere quella della funzione coseno nel paragrafo successivo.

Formula di duplicazione della funzione coseno

Allo stesso modo, se vogliamo calcolare il coseno di un angolo

[math] \gamma[/math]

, sapendo che

[math] \gamma = 2 \alpha [/math]

, ed essendo

[math] \alpha[/math]

un angolo di cui possiamo calcolare il seno e il coseno, possiamo applicare la seguente formula:

[math] \cos{\gamma}=\cos{2 \alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha} [/math]

Applicando, poi, la relazione fondamentale della trigonometria,

[math] \cos^2 {\alpha}+ \sin^2{\alpha}=1 \Rightarrow \cos^2{\alpha} = 1-\sin^2{\alpha} [/math]

Possiamo ottenere le formule di duplicazione del coseno in funzione di una sola funzione goniometrica:

[math] \cos{2 \alpha} = \cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}=1-2 \sin^2{\alpha} [/math]

Oppure, mettendo in evidenza il

[math] \cos[/math]

possiamo scrivere che:

[math] \cos^2 {\alpha}+ \sin^2{\alpha}=1 \Rightarrow \cos^2{\alpha} = 1-\cos^2{\alpha} [/math]

Quindi la formula di duplicazione del coseno diventa:

[math] \cos{2 \alpha} = \cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}=\cos^2{\alpha}-(1-\cos^2{\alpha})=-1+2 \cos^2{\alpha} [/math]

Riassumendo, abbiamo quindi:

[math] \cos{2 \alpha} = 2 \cos^2{\alpha}-1= 1-2 \sin^2{\alpha} [/math]

Note le formule di duplicazione della funzione seno e coseno, non ci rimane che conoscere anche quella della funzione tangente e cotangente nel prossimo paragrafo.

Formule di duplicazione delle funzioni: tangente e cotangente

Conoscendo le relazioni fra seno, coseno e tangente, possiamo facilmente ricavare le formule di duplicazione per la tangente e per la cotangente. In particolare, sappiamo che la tangente è definita come:

[math] \tan(2 \alpha) = \frac{ \sin(2 \alpha)}{ \cos(2 \alpha)} [/math]

Riprendiamo le formule scritte nei paragrafi precedenti e sostituiamo:

[math] \tan(2 \alpha) = \frac{\sin(2 \alpha)}{\cos(2 \alpha)}= \frac{2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{1-2 \sin^2(\alpha)}= [/math]

[math] \frac{2 \sin{\alpha} \cos{\alpha}}{\cos^2{\alpha}- \sin^2{\alpha}}= \frac{ \frac{2 \sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}}{1-\frac{\sin^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}}}=\frac{2 \tan{\alpha}}{1-\tan^2{\alpha}} [/math]

Allo stesso modo per la cotangente possiamo scrivere che:

[math] \cot(2 \alpha) = \frac{\cos(2 \alpha)}{\sin(2 \alpha)}=\frac{1-\tan^2(\alpha)}{2 \tan(\alpha)} [/math]

Riassumendo, abbiamo che:

[math] \tan(2 \alpha) = \frac{2 \tan(\alpha)}{1-\tan^2(\alpha)} [/math]

[math] \cot(2 \alpha)=\frac{\cot^2{\alpha}-1}{2 \cot{\alpha}}[/math]

Oltre alle formule di duplicazione che ci permettono di calcolare seno, coseno e tangente di un angolo doppio rispetto a quello noto, esistono anche le formule “inverse” ovvero quelle che ci permettono di calcolare seno, coseno, tangente e cotangente di angoli che sono la metà di quelli noti; le cosiddette formule di bisezione, che vedremo meglio nel prossimo paragrafo.

Formule di bisezione delle funzioni goniometriche

Le formule di bisezione ci permettono di calcolare le funzioni goniometriche di angoli non noti, sapendo che essi hanno la metà dell’ampiezza, cioè

[math] \alpha/2[/math]

, essendo

[math] \alpha[/math]

un angolo noto, cioè di cui conosciamo le funzioni goniometriche.
Seguendo lo stesso ragionamento fatto nei paragrafi precedenti, possiamo calcolare la formula di bisezione della funzione seno .
Supponiamo di voler calcolare il seno di un angolo

[math] \gamma[/math]

, sapendo che

[math] \gamma= \frac{\alpha}{2} [/math]

ed essendo

[math] \alpha [/math]

un angolo di cui possiamo calcolare il seno e il coseno. In generale, possiamo avere due casi, ovvero:

l’angolo è positivo
[math]\Rightarrow \frac{\alpha}{2} \ge 0 [/math]

[math] \sin{\gamma}=\sin{\frac{\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{2}} [/math]
l’angolo è negativo
[math] \Rightarrow \frac{\alpha}{2}

[math] \sin{\gamma}=\sin{\frac{\alpha}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{2}} [/math]

Allo stesso modo possiamo calcolare anche la Formula di bisezione del coseno.
Se dobbiamo calcolare il coseno di un angolo
[math]\gamma[/math]
, sapendo che
[math]\gamma= \frac{\alpha}{2} [/math]
ed essendo
[math] \alpha [/math]
un angolo di cui possiamo calcolare il seno e il coseno. Possiamo applicare le seguenti formule:
- l’angolo è positivo
  [math] \Rightarrow \frac{\alpha}{2} \ge 0 [/math]
  
  [math] \cos{\gamma}=\cos{\frac{\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1+\cos{\alpha}}{2}} [/math]
- l’angolo è negativo
  [math] \Rightarrow \frac{\alpha}{2}
  
  [math] \cos{\gamma}=\cos{\frac{\alpha}{2}}=-\sqrt{\frac{1+\cos{\alpha}}{2}} [/math]
  
  Passiamo adesso alle Formule di bisezione della tangente.
  Conoscendo le formule di bisezione del seno e del coseno, possiamo facilmente ricavare le formule di bisezione della tangente, in cui:
  
  [math] \tan{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} \ \text{oppure} \tan{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin{\alpha}}{1+\cos{\alpha}} [/math]
  Infine, nel paragrafo seguente sono presenti dei link di approfondimento.
  
  Altro materiale di approfondimento sulle funzioni trigonometriche e le loro relazioni
  Se stai cercando una particolare formula di goniometria, puoi consultare il nostro Formulario delle funzioni goniometriche.
  Se vuoi ripassare le funzioni trigonometriche, puoi consultare questo appunto di analisi 1