A cosa servono gli integrali definiti nei problemi matematici
Molto spesso, nei problemi matematici, ma anche in quelli di carattere scientifico e tecnico in generale, capita di dover determinare l'area compresa tra il grafico di una funzione e l'asse delle ascisse. Gli integrali definiti ci permettono di assolvere questo compito.
Consideriamo una funzione
La parte di spazio compresa tra le rette
Come calcolare l'area utilizzando gli integrali definiti
Per calcolare l'area di tale regione dello spazio, procediamo in questo modo: suddividiamo l'intervallo, che ha ampiezzaCiascuna di queste parti rappresenta la base di un rettangolo. Distinguiamo i rettangoli che si formano in due tipi: quelli colorati hanno altezza uguale al valore minimo che la funzione assume in un determinato intervallo, mentre quelli contornati di nero hanno altezza uguale al valore massimo che la funzione assume nell'intervallo.
Cosa sono la somma integrale superiore e la somma integrale inferiore e come si calcolano
L'area della regione azzurra, cioè l'area di tutti i rettangoli più piccoli, è data dalla seguente somma:
Allo stesso modo, possiamo definire l'area di tutti i rettangoli con il bordo, cioè i rettangoli più grandi:
Le somme precedenti prendono il nome, rispettivamente, di somma integrale inferiore e somma integrale superiore della funzione.Possiamo notare che le somme precedenti rappresentano un'approssimazione per difetto e per eccesso della misura dell'area sottesa al grafico di
Possiamo quindi dire che il valore di entrambe le somme, all'aumentare di
Vale quindi, il seguente teorema: Le successioni delle somme integrali inferiori e superiori relative a una funzione
Il valore comune di tali somme si chiama, per definizione, integrale definito della funzione
Nel caso in cui la funzione sia negativa in un determinato intervallo, si può applicare lo stesso ragionamento utilizzato in precedenza. Il limite (negativo) delle somme rappresenta, in valore assoluto, la misura dell'area delimitata dall'asse delle
Nel caso in cui la funzione
Possiamo dedurre che, in questo caso, il valore dell'integrale definito, e cioè la misura dell'area totale, sarà positivo se le aree situate al di sopra dell'asse delle ascisse hanno estensione maggiore delle aree che si trovano al di sotto, e sarà invece negativo nel caso opposto.
Per ulteriori approfondimenti sugli integrali definiti vedi anche qua