Limiti e funzioni continue

Prodotto di funzioni continue

Sappiamo che il limite del prodotto due funzioni è uguale al prodotto dei limiti delle due funzioni.

Nel caso di funzioni continue, possiamo affermare che il prodotto di due funzioni continue, in un punto c, è una funzione continua nel punto c.

Inoltre, il prodotto di funzioni continue in un intervallo I è una funzione continua nell’intervallo I.

Questa nozione sul prodotto di funzioni continue è valida anche nel caso di più di due funzioni moltiplicate tra loro; inoltre, lo stesso discorso si può fare nel caso della funzione potenza, che non è altro che il prodotto di una funzione per se stessa, più volte.

Continuità delle funzioni razionali intere

Come sappiamo, la funzione di equazione y = x è una funzione continua in tutto R; possiamo quindi affermare che, anche la funzione potenza n-esima, \( y = x^n \) è una funzione continua in tutto R.

Di conseguenza, anche il prodotto della funzione potenza per un numero reale

\[ y = a \cdot x^n \]

è una funzione continua in R.

Quindi, una funzione che ha come espressione analitica un monomio nella variabile x è continua per ogni x reale.

Sapendo che la somma di funzioni continue è anch’essa una funzione continua, possiamo affermare che una funzione che ha come espressione analitica un polinomio, somma di monomi, che sono funzioni continue, è certamente una funzione continua.

Quindi, possiamo generalizzare e affermare che ogni funzione razionale intera del tipo y = P(x), dove P(x) è un polinomio in x, è continua per ogni valore di x reale; quindi, per ogni c reale, si ha:

\[ \lim_{x \rightarrow c} P(x) = P(c) \]

Limite del quoziente di due funzioni

Teorema: Se una funzione f(x) tende ad un limite finito l diverso da zero, per x → c, allora la funzione reciproca, 1/f(x), sempre per x → c, tende al limite 1/l:

\[ \lim_{x \rightarrow c} f(x) = l \Rightarrow \lim_{x \rightarrow c} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{l} \]

Teorema: Il limite del quoziente di due funzioni, delle quali la seconda tende ad un limite diverso da zero, è uguale al quoziente dei limiti, cioè:

\[ \lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)} =

In particolare, possiamo notare che:

  • se la funzione f(x) tende ad un limite l ≠ 0, e la funzione g(x) tende a zero, allora il rapporto delle due funzioni tende all’infinito: \( \frac{l}{0} = \infty \);
  • se la funzione f(x) tende all’infinito, e la funzione g(x) tende ad un valore l (che può anche essere zero), allora il rapporto delle due funzioni tende all’infinito: \( \frac{\infty}{l} = \frac{\infty}{0} = \infty \);
  • se la funzione f(x) ha limite l (che può anche essere zero) e la funzione g(x) tende all’infinito, il rapporto tende a zero: \( \frac{l}{\infty} = \frac{0}{\infty} = 0 \).

Negli altri casi, cioè quando entrambe le funzioni tendono a zero, o quando entrambe tendono all’infinito, non si può dire niente riguardo il limite del loro rapporto; in questo caso, si parla di forme di indecisione, o forme indeterminate \( \frac{0}{0}; \frac{\infty}{\infty} \).

Quoziente di funzioni continue

Dal teorema precedente, possiamo affermare che il quoziente di due funzioni continue in un punto c è una funzione continua nello stesso punto, tranne nel caso in cui la funzione al denominatore si annulli nel punto c.

Allo stesso modo, se due funzioni sono continue in un intervallo I, anche il loro rapporto è una funzione continua in tutti i punti dell’intervallo in cui la funzione divisore è diversa da zero.

Se consideriamo una funzione del tipo:

\[ \frac{P(x)}{Q(x)} \]

dove, P(x) e Q(x) sono polinomi, sapendo che un polinomio è una funzione continua per ogni valore di x, possiamo affermare che: una funzione razionale fratta è continua per tutti i valori di x che non annullano il denominatore.

Altro materiale di supporto

Videolezione sui limiti e le funzioni continue utile anche per imparare la terminologia inglese.

 

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