Definizione di logaritmo

Definizione generale di logaritmo

Dati due numeri reali $a>0$ e $b<0$, $b \ne 0$ si definisce logaritmo di base $b$ e argomento $a$ l’esponente da attribuire alla base $b$ per ottenere una potenza uguale all’argomento $a$. Ciò si scrive nella forma
\[ \begin{equation}x=\log_b a\Leftrightarrow b^x=a \label{eq1}\end{equation} \]

Definizione di logaritmo naturale o neperiano

Un logaritmo la cui base è il numero di Nepero $e$ è detto logaritmo naturale o neperiano. In simboli ciò si indica in uno dei due modi seguenti, anche se normalmente di predilige il secondo:
\[
x=\log_e a\;\text{o}\;x=\ln a
\]

Definizione di logaritmo decimale o di Briggs

Un logaritmo la cui base è 10 viene chiamato logaritmo decimale o di Briggs. In simboli ciò si indica nei modi seguenti:
\[
x=\log_{10}a\;\;\text{o}\;\;x=\text{Log}\,a
\]

Osservazione 1: Quando si dà una nuova definizione occorre sempre controllare che essa non sia contraddittoria. Nella definizione 1 viene detto che il logaritmo è precisamente quell’esponente da attribuire a $b$ onde ottenere $a$; ciò presuppone che esista uno e un sol numero con tale proprietà. Effettivamente ciò corrisponde a verità, in quanto la funzione esponenziale di base $b$ è iniettiva, e quindi non esistono due $x$ diversi che consentano di ottenere $a$ attraverso il calcolo proposto nella (1).

 

Definizione di logaritmo

 

Osservazione 2: Dalla definizione 1 risulta che la base $b$ di un logaritmo deve consistere in un numero reale positivo differente da 1. Questa richiesta, a prima vista complicata, è facilmente spiegata osservando che per la (1) deve essere $b^x=a$: visto allora che $b$ deve essere anche la base di una funzione esponenziale, i valori negativi vanno eliminati a causa di come è definita quest’ultima. Se invece fosse $b=1$, avremmo che $a=1^x=1$ indipendentemente dal valore di $x$, ovvero il nostro logaritmo si ridurrebbe alla funzione $y=1$. Posto allora $b>0$, $b>1$ può risultare o $b>1$ o \(0 < b <1\) ; i due grafici possibili in questi due casi per la funzione $y=\log_b a$ sono rappresentati nelle immagini precedenti.

Osservazione 3: La definizione 1, e di conseguenza anche la 2 e la 3 che da essa dipendono, richiede esplicitamente che risulti $a > 0$. Ciò è dovuto a quanto scritto nella formula (1) e alle proprietà della funzione esponenziale. Visto che infatti deve risultare $b^x=a$ e che la funzione esponenziale di base $b$ assume valori solo in $\mathbb{R}^+$, necessariamente il valore di $a$ sarà positivo.

Osservazione 4: Il legame tra funzione esponenziale e logaritmo espresso dalla (1) si può anche visualizzare nel modo che segue. Si consideri il grafico già noto relativo alla funzione esponenziale di base $b$ (nell’immagine seguente lo si è rappresentato in rosso e si è scelto $b > 1$) e la bisettrice del primo e terzo quadrante (in viola nel grafico). Riflettendo detto grafico rispetto alla retta data si ottiene il nuovo grafico in blu: esso è il grafico della funzione $y=\log_b a$, ovvero del logaritmo.
Le proprietà dell’esponenziale valgono riflesse per il logaritmo: se l’esponenziale è definita su tutto $\mathbb{R}$, assume valori in $\mathbb{R}^+$, passa per il punto $(0, 1)$ e tende a $0^+$ per \(x \rightarrow -\infty\), allora il logaritmo è definito su $\mathbb{R}^+$, assume valori in tutto $\mathbb{R}$, passa per il punto $(1, 0)$ e tende a $-\infty$ per $x\rightarrow 0^+$. In particolare ciò significa che poichè l’esponenziale possiede un asintoto orizzontale, il logaritmo ne ha uno verticale.
Un legame di questo tipo tra i grafici di queste due funzioni è dovuto al fatto che esse sono una la funzione inversa dell’altra.

 

Grafici delle funzioni esponenziale e logaritmo

 

Esempi elementari di calcolo di logaritmi

Esempio 1: Proviamo a calcolare il valore di $x=log_b 1$. Come richiesto dalla definizione 1, per risolvere questo problema dovremo trovare quel valore, che esiste ed è unico in virtù dell’osservazione 1, tale che $b^x=1$. Indipendentemente da quale sia la base $b$, sappiamo che elevandola alla 0 otterremo 1, cioè \(b^0=1\), $\forall b$. Quindi il risultato sarà $log_b 1=0$. In effetti, l’osservazione 4 ci assicurava già che il grafico del logaritmo passa per il punto $(1, 0)$ quale che sia la base $b$, cosicché il risultato era in effetti banale.

Esempio 2: Calcoliamo adesso $log_b b$. Adoperando ancora la definizione 1, sappiamo che il numero ricercato deve essere tale che $b^x=b$. Com’è noto già dalle proprietà delle potenze, l’elevazione di un numero qualsiasi alla 1 ci restituisce il numero stesso; dunque certamente $log_b b=1$ per ogni $b$.

Esempio 3: Utilizzando sempre lo stesso metodo, è possibile verificare i seguenti risultati:
\( x=\text{Log}1000\rightarrow x=log_{10}1000\rightarrow 10^x=1000=10^3\rightarrow x=3 \)

\( x=\ln \sqrt{e} \rightarrow x = \log_e \sqrt{e} \rightarrow e^x = \sqrt{e} = e^{1/2} \rightarrow x = \frac{1}{2} \)
Nel primo dei due esercizi è stata usata la definizione 3 per consentire il primo passaggio. Similmente, il primo passaggio del secondo esercizio vale in virtù della definizione 2.

Esempio 4: Proviamo infine a calcolare il valore di $x=log_{2}3$. Se come al solito ricorriamo alla definizione 1, scopriamo solo che $2^x=3$; ciò non ci è di grande aiuto, visto che non conosciamo alcun numero $x$ “semplice” che verifichi questa equazione. Infatti comunque eleviamo 2 a un numero naturale otteniamo sempre un numero pari, ed essendo 3 dispari l’uguaglianza non può mai valere.
D’altro canto la funzione esponenziale è definita su tutto $\mathbb{R}$, quindi una soluzione deve necessariamente esistere. Visto che non la conosciamo con precisione, possiamo quanto meno tentare di approssimarla: visto allora che $2 < 3 < 4$, è lecito scrivere
\[
2^1 < 2^x<2^2
\]
Questo, unitamente al fatto che la funzione esponenziale è crescente, ci assicura che l’$x$ da noi ricercato appartiene all’intervallo $(1, 2)$; in effetti usando una calcolatrice scientifica risulta che $x\approx1.585$, e quindi la nostra stima è corretta.

 

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