Disequazioni esponenziali risolvibili con i logaritmi

Definizione 1: Disequazione esponenziale risolvibile con i logaritmi
Siano $f(x)$ e $g(x)$ due funzioni formate da prodotti e quozienti di termini positivi, in cui la $x$ compare solo in alcuni degli esponenti. Allora ognuna delle disequazioni
\[
f(x)>g(x),\quad f(x)\ge g(x),\quad f(x)< g(x),\quad f(x)\le g(x)
\]
è una disequazione esponenziale risolvibile con i logaritmi.

Metodo risolutivo: Come anche nel caso del metodo risolutivo per le equazioni esponenziali, la positività dei due termini $f(x)$ e $g(x)$ della disequazione ci consente l’applicazione del logaritmo di base $b$ a destra e a sinistra del segno di disuguaglianza. A differenza del caso dell’uguaglianza, però, qui bisogna prestare attenzione a che il segno sia un maggiore o un minore. Infatti, dallo studio della funzione logaritmica segue che essa è crescente qualora risulti $b>1$, mentre invece è decrescente nel caso in cui $0< b<1$. Ciò comporta che se vorremo applicare un logaritmo di base minore di 1 il segno della disequazione andrà invertito, mentre se la base scelta sarà maggiore di 1 non bisognerà mutarlo: \[ b>1:\enspace f(x)>g(x)\rightarrow\log_{b}f(x)>\log_{b}g(x)\\
0< b <1:\enspace f(x)>g(x)\rightarrow\log_{b}f(x)<\log_{b}g(x)
\]
Da questo punto in avanti si procede esattamente come per una equazione esponenziale risolvibile con i logaritmi: si applicano prima le proprietà di prodotto e quoziente, poi quella di potenza e infine si risolve la disequazione algebrica che ne sarà risultata.

Osservazione 1: Anche in questo caso è lecito considerare una qualsiasi base $b>1$, $b\ne1$, purchè si tenga conto della regola del segno esposta nel metodo risolutivo. Se, come si suole, la base scelta è il numero di Nepero $e\approx 2.718$, visto che risulta $e>1$ il segno della disequazione rimane immutato.

 

Esempi di risoluzione con i logaritmi di disequazioni esponenziali

Esempio 1: Si vuole risolvere la disequazione \(4^x+3^x>8^{\frac{2}{3}x+1}\).
In questo caso compaiono tre diverse basi, ma se si considera che 4 e 8 sono entrambi potenze di 2 la disequazione si può riscrivere nella forma \(2^{2x}+3^x>2^{3\left(\frac{2}{3}x+1\right)} \). Il prossimo passaggio consiste nel riscrivere la disequazione in modo che tutti i termini con la stessa base compaiano dallo stesso lato del segno di disuguaglianza:
\[
3^x>2^{3\left(\frac{2}{3}x+1\right)}-2^{2x}=2^{2x+3}-2^{2x}=2^{2x}\left(2^3-1\right)=7\cdot 2^{2x}
\]
Svolgendo i semplici calcoli algebrici mostrati nei passaggi precedenti otteniamo così la disequazione $3^x>7\cdot2^{2x}$, che è proprio del tipo descritto nella definizione 1: infatti la $x$ compare solo all’esponente, e entrambi i membri sono prodotti di termini positivi.
Procedendo come da osservazione 1, prendiamo il logaritmo naturale di entrambi i lati della disequazione, abbiamo
\[
\ln3^x>\ln\left(7\cdot2^{2x}\right)
\]
Applichiamo ora prima di tutto la proprietà del logaritmo di un prodotto, poi quella del logaritmo di una potenza. Il risultato sarà
\[
\ln3^x>\ln\left(7\cdot2^{2x}\right)\Rightarrow\ln3^x>\ln7+\ln2^{2x}\Rightarrow x\ln3>\ln7+2x\ln2
\]
In questo modo abbiamo ottenuto una semplice disequazione algebrica, che è possibile risolvere con i metodi già studiati:
\[
x\ln3>\ln7+2x\ln2\Rightarrow x\ln3-2x\ln2>\ln7\Rightarrow x\left(\ln3-2\ln2\right)>\ln7
\]
Il passaggio successivo richiede del ragionamento; infatti, per sapere se il maggiore va cambiato o no in minore quando entrambi i membri vengono divisi per il coefficiente della $x$ è necessario sapere se esso è maggiore o minore di 0. Con le proprietà dei logaritmi,
\[
\ln3-2\ln2=\ln3-\ln4<0
\]
visto che il logaritmo naturale è una funzione strettamente crescente. Dunque il segno della disequazione va cambiato, e otterremo alla fine
\[
x<\frac{\ln7}{\ln3-\ln4}=\frac{\ln7}{\ln\frac{3}{4}}=\log_{3/4}7
\]

Esempio 2: Si vuole risolvere la disequazione $4^{2x}+4^x-6\ge 0$.
Di solito, al risolvere una equazione o disequazione esponenziale, riduciamo tutte le basi ai loro fattori primi: così abbiamo fatto infatti nell’esempio 1; in questo caso, poiché l’unica base che compare è 4, non c’è questa necessità. Se poniamo $y=4^x$, la disequazione si trasforma in una polinomiale, e poiché essa è di secondo grado siamo anche in grado di risolverla facilmente:
\[
y=4^x\rightarrow y^2+y-6>0\\
\left(y-2\right)\left(y+3\right)>0\Rightarrow y < -3\cup y>2
\]
Ricordando la nostra posizione, le due disequazioni ottenute per la $y$ sono equivalenti a disequazioni esponenziali con la $x$: $\quad 4^x < -3 \cup 4^x>2$. La prima di esse è chiaramente impossibile, poichè per ogni valore reale di $x$ tutti gli esponenziali sono strettamente positivi. La seconda si risolve facilmente prendendo, secondo il metodo risolutivo visto, il logaritmo in base 4 di entrambi i membri
\[
4^x>2\Rightarrow\log_{4}4^x > \log_{4}2\Rightarrow x>\frac{1}{\log_{2}4}=\frac{1}{2}
\]
Evidenziamo ancora solo che il segno della disequazione non è cambiato poiché $4>0$, e che nell’ultimo passaggio abbiamo utilizzato la regola del cambio di base per scambiare argomento e base dell’ultimo logaritmo e ottenere più agevolmente il risultato.

 

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