In questo appunto di Algebra vengono descritte le principali
proprietà dei logaritmi: il
logaritmo di un prodotto, il
logaritmo di un quoziente e il
logaritmo di una potenza, inoltre è presente un paragrafo dedicato al
cambiamento di base dei logaritmi. Al fondo dell'articolo una
tabella riassuntiva con le principali formule sulle
proprietà trattate all'interno del testo.
Logaritmo di un prodotto
La prima proprietà che andiamo a descrivere è il
logaritmo di un prodotto.
Siano
[math]x[/math]
e
[math]y[/math]
due
numeri reali positivi e sia
[math]b>0[/math]
,
[math]b\ne1[/math]
.
Allora vale la formula seguente:
[math]log_b (xy) = log_b x + log_b y[/math]
Osservazione
Visto che
[math]x>0[/math]
e
[math]y>0[/math]
, anche
[math]xy>0[/math]
poiché è il prodotto di due numeri positivi. Questo, unitamente alle condizioni richieste sulla base
[math]b[/math]
, assicura che tutti e tre i logaritmi presenti nella formula precedente siano ben definiti.
Dimostrazione
La proprietà dei logaritmi è stata elaborata partendo dalla proprietà del prodotto di due potenze aventi la stessa base. Per rendercene conto, poniamo
[math]t=\\log_b x[/math]
e
[math]s=\\log_b y[/math]
; allora per la definizione stessa di logaritmo avremo che
[math]b^t=x[/math]
e
[math]b^s=y[/math]
. Se adesso andiamo a calcolare il prodotto di
[math]x[/math]
e
[math]y[/math]
, otteniamo:
[math]xy=b^tb^s=b^{t+s} \rightarrow{t+s}=log_b(xy)\rightarrow log_b(xy)=log_bx+log_by[/math]
Nel corso del primo passaggio abbiamo applicato la suddetta proprietà delle potenze, nel secondo la definizione di logaritmo e infine nel terzo abbiamo sostituito i valori di
[math]t[/math]
e
[math]s[/math]
, ottenendo il risultato richiesto.
Esempio
Proviamo a calcolare il
[math]\\log_{3}(27\cdot81)[/math]
applicando la proprietà appena studiata. Poiché sappiamo che
[math]27=3^3[/math]
e
[math]81=3^4[/math]
, possiamo scrivere:
[math]log_{3}(27\cdot81)=log_{3}27+log_{3}81=log_{3}3^3+log_{3}3^4=3+4=7[/math]
Si poteva operare anche svolgendo prima il prodotto e in seguito calcolare il logaritmo, ma con quel procedimento avremmo avuto
[math]\\log_{3}2187[/math]
, e sarebbe stato più difficile poi notare che esso equivale a
[math]\\log_{3}3^7=7[/math]
. Dunque adoperando la proprietà abbiamo semplificato i calcoli.
Per ulteriori approfondimenti sui logaritmi vedi anche qua
Logaritmo di un quoziente
La seconda proprietà che andiamo ad analizzare è quella del logaritmo di un quoziente.
Siano
[math]x[/math]
e
[math]y[/math]
due
numeri reali positivi e sia
[math]b>0[/math]
,
[math]b\ne1[/math]
. Allora vale la formula seguente:
[math]log_{b}\left(\frac{1}{y}\right)=-log_{b}y[/math]
Dimostrazione
Vista la corrispondenza esistente tra i concetti di logaritmo e di funzione esponenziale, è facile immaginare che anche questa proprietà discenda da un'opportuna proprietà relativa alle potenze. Se imponiamo
[math]t=\\log_{b}x[/math]
e
[math]s=\\log_{b}y[/math]
, allora è possibile ricavare che
[math]b^t=x[/math]
e
[math]b^s=y[/math]
. Calcolando il quoziente che compare nell'argomento del primo logaritmo abbiamo:
[math]\frac{x}{y}=\frac{b^t}{b^s}=b^{t-s}\rightarrow t-s=log_{b}\left(\frac{x}{y}\right)\rightarrow log_{b}\left(\frac{x}{y}\right)=log_{b}x-log_{b}y[/math]
Possiamo notare come la proprietà applicata nel corso del primo passaggio è quella sul rapporto di due potenze aventi la stessa base, mentre nei due successivi passaggi ci siamo limitati ad applicare la definizione di logaritmo.
Esempio
Utilizziamo la proprietà appena dimostrata semplificare il calcolo del seguente logaritmo:
[math]\\log_{2}(\frac{\sqrt{8}}{16})[/math]
. Poiché i numeri che compaiono soddisfano tutte le ipotesi richieste, la proprietà è applicabile, ed è dunque lecito scrivere:
[math]log_{2}\left(\frac{\sqrt{8}}{16}\right)=log_{2}\sqrt{8}-log_{2}16=log_{2}\sqrt{2^3}-log_{2}2^4=log_{2}2^{\frac{3}{2}}-4=\frac{3}{2}-4=-\frac{5}{2}[/math]
Oltre all'applicazione della proprietà suddetta, ci è bastato usare più volte la definizione di logaritmo per raggiungere il risultato finale.
Logaritmo di una potenza
La terza proprietà riguarda il logaritmo di una potenza.
Siano
[math]x[/math]
,
[math]m[/math]
e
[math]b[/math]
tre numeri reali verificanti le condizioni
[math]x>0[/math]
,
[math]b>0[/math]
,
[math]b\ne1[/math]
. Allora vale
[math]log_{b}x^m=mlog_{b}x[/math]
Osservazione
Questa proprietà implica che
[math]log_{b}\sqrt[n]{x}=\frac{1}{n}log_{b}x[/math]
, poiché un radicale può sempre essere visto come esponente frazionario. In questo caso, così come in quello generale, è essenziale imporre
[math]x>0[/math]
visto che
[math]x[/math]
è l'argomento del logaritmo al secondo membro.
Dimostrazione
Dalla definizione di logaritmo segue immediatamente che
[math]b^{\\log_{b}x}=x[/math]
; se
[math]x[/math]
è elevato all'emmesima potenza, allora:
[math]x^m=(b^{log_{b}x})^m=b^{mlog_{b}x} \rightarrow log_{b}x^m=mlog_{b}x[/math]
Nel primo passaggio si è adoperata solo la proprietà delle potenze, tale proprietà rende lecito fare il prodotto degli esponenti delle potenze applicate in successione, mentre nel secondo passaggio si fatto uso della definizione di logaritmo, giungendo così al risultato finale.
Esempio
Questa formula ci viene spesso in aiuto nella risoluzione di logaritmi la cui base e argomento non sono l'uno multiplo dell'altra. Per esempio, snel calcolo di
[math]y=\\log_{3}32[/math]
non esiste alcun numero intero (o razionale)
[math]y[/math]
tale che
[math]3^y=32[/math]
. D'altro canto risulta
[math]32=2^5[/math]
, quindi quanto meno possiamo scrivere:
[math]y=log_{3}32=log_{3}2^5=5log_{3}2[/math]
Questa modalità di scrittura, in un esercizio più complesso, ci permette di confrontare il valore di
[math]y[/math]
con quello di altre grandezze.
Per ulteriori approfondimenti sulle proprietà delle potenze vedi anche qua
Cambiamento di base
L'ultima proprietà che andiamo a descrivere è quella relativa al cambiamento di base.
Siano
[math]x[/math]
e
[math]y[/math]
due numeri reali positivi con
[math]y\ne1[/math]
, e sia
[math]b>0[/math]
,
[math]b\ne1[/math]
. Allora vale la formula:
[math]log_{y}x=\frac{log_{b}x}{log_{b}y}[/math]
Osservazione
Si noti come la richiesta fatta su
[math]y[/math]
questa volta voglia anche come condizione che esso non sia
[math]1[/math]
, al contrario di quanto osservato nel caso delle proprietà precedenti. Questo perchè nel primo membro della formula precedente
[math]y[/math]
è la base di un logaritmo, e perciò, per definizione, deve risultare
[math]y\ne1[/math]
. Ancora,
[math]y[/math]
non può essere 1 perché in quel caso avremmo
[math]\\log_{b}y=\\log_{b}1=0[/math]
, e così la divisione che appare al secondo membro non si potrebbe risolvere.
Da questa proprietà si ricava anche un caso particolare interessante, se poniamo
[math]b=x[/math]
otteniamo che:
[math]log_{y}x=\frac{log_{x}x}{log_{x}y}=\frac{1}{log_{x}y}[/math]
ovvero è possibile invertire la base e l'argomento di un logaritmo a patto di prenderne l'inverso. Naturalmente affinché ciò sia lecito è necessario che
[math]x\ne1[/math]
, poiché
[math]x[/math]
diventa la base del nuovo logaritmo. Questa proprietà risulta utile allorché
[math]y>x[/math]
.
Dimostrazione
Come già noto dalla definizione di logaritmo: vale l'uguaglianza
[math]x=y^{log_{y}x}[/math]
; similmente conosciamo essere valida anche
[math]y=b^{\\log_{b}y}[/math]
. Combinando le due
equazioni così ottenute possiamo scrivere
[math]x=(b^{log_{b}y})^{log_{y}x}=b^{log_{b}ylog_{y}x}\rightarrow log_{b}x=log_{b}ylog_{y}x\rightarrow log_{y}x=\frac{log_{b}x}{log_{b}y}[/math]
Nel primo passaggio abbiamo adoperato la legge delle potenze di potenze, la quale afferma che una potenza di potenza è una potenza avente per base la base della prima potenza e per esponente il prodotto degli esponenti. In seguito si è usata la definizione di logaritmo e si sono riscritti i termini in una forma più congeniale, questa operazione è resa possibile poiché dalle ipotesi fatte segue che
[math]\\log_{b}y[/math]
non è nullo.
Esempio
Supponiamo di dover risolvere l'esercizio
[math]log_{16}\sqrt{2}[/math]
.
Possiamo notare che sia la base del logaritmo, sia il suo argomento sono potenze di 2: in questo caso possiamo applicare la proprietà di cambiamento di base con
[math]b=2[/math]
e scrivere:
[math]log_{16}\sqrt{2}=\frac{log_{2}\sqrt{2}}{log_{2}16}=\frac{\frac{1}{2}}{4}=\frac{1}{8}[/math]
Specchietto riassuntivo delle proprietà dei logaritmi
La seguente tabella riassume le proprietà dei logaritmi trattate all'interno di questo appunto di algebra.
Logaritmo di un prodotto
[math]log_{b}\left(xy\right)=log_{b}x+log_{b}y[/math]
Logaritmo di un quoziente
[math]log_{b}\left(\frac{x}{y}\right)=log_{b}x-log_{b}y[/math]
Logaritmo di una potenza
[math]log_{b}x^m=mlog_{b}x[/math]
Cambiamento di base
[math]log_{y}x=\frac{log_{b}x}{log_{b}y}[/math]
Cenni storici e curiosità sui logaritmi
Come si è visto, le proprietà dei logaritmi semplificano notevolmente il calcolo di prodotti, quozienti e potenze. Proprio questa capacità di semplificare delle operaizoni complesse ha spinto
Nepero,
Briggs e in seguito
Eulero, i quali vivevano in un mondo privo di calcolatrici, a sviluppare e perfezionare il concetto di logaritmo.
