La Logica deduttiva quella branca della Logica che si occupa di verificare la validit dei ragionamenti e delle dimostrazioni matematiche, visti come sequenze di proposizioni. A tale proposito essa adopera alcuni prefissati schemi di ragionamento, che costituiscono particolari tautologie. I principali sono dati dalle definizioni seguenti:
Definizioni
Definizione 1: Modus ponens.
Siano date due proposizioni
[math]p[/math]
e
[math]q[/math]
.
Supponiamo che le proposizioni
[math]p[/math]
e
[math]p\to q[/math]
, dette premesse, siano entrambe vere; allora la proposizione
[math]q[/math]
, detta conclusione, a sua volta vera. In simboli si
usa scrivere
[
frac{p, p o q}{ herefore q}
]
Definizione 2: Modus tollens.
Siano date due proposizioni
[math]p[/math]
e
[math]q[/math]
. Supponiamo che le proposizioni
[math]overli
e{q}[/math]
e
[math]p \to q[/math]
, dette premesse, siano entrambe vere; allora la proposizione
[math]overli
e{p}[/math]
, detta conclusione, a sua volta vera. In simboli si
usa scrivere
[
frac{overline{q},p o q}{ hereforeoverline{p}}
]
Definizione 3: Sillogismo.
Siano date tre proposizioni
[math]p,q[/math]
ed
[math]r[/math]
. Supponiamo che le proposizioni
[math]p\to q[/math]
e
[math]q\to r[/math]
, dette premesse, siano entrambe vere; allora la proposizione
[math]p\to r[/math]
, detta conclusione, a sua volta vera. In simboli si usa scrivere
[
frac{p o q,q o r}{ herefore p o r}
]
Osservazione 1: In ciascuna delle scritture simboliche date, le premesse sono scritte al di sopra della riga orizzontale, separate da una virgola, mentre le conclusioni sono scritte al di sotto della riga stessa, precedute dal simbolo
[math] herefore[/math]
. Tale simbolo significa un teorema o risulta dimostrato che.
Osservazione 2: I nomi delle regole deduttive tradiscono la loro antica origine. Modus ponens significa il modo (di ragionare) che pone (la verit di
[math]p[/math]
), mentre modus tollens significa il modo (di ragionare) che toglie (la verit di
[math]p[/math]
). Sillogismo viene invece dal greco, e significa ragionamento concatenato.
Dimostrazioni
Dimostrazione del Modus ponens:
Onde dimostrare che il Modus ponens una maniera lecita di ragionare, ci baster far vedere che lespressione logica
[math][pwedge(p\to q)]\to q[/math]
una tautologia. Invece di ricorrere come al solito alle tavole di verit, cerchiamo di effettuare la dimostrazione in modo semplice e veloce.
Affinch lespressione data non sia una tautologia, poich essa unimplicazione, deve succedere che
[math]q[/math]
sia falsa e, al contempo,
[math]pwedge(p\to q)[/math]
sia vera; in particolare ci significa che sia
[math]p[/math]
sia
[math]p\toq[/math]
devono essere vere. Ma se
[math]q[/math]
falsa,
[math]p\to q[/math]
pu essere vera se e solo se
[math]p[/math]
falsa, mentre dovrebbe essere vera. Ne deduciamo che
[math][pwedge(p\to q)]\to q[/math]
in effetti una tautologia, come volevasi.
Dimostrazione del Modus tollens: Per dimostrare il Modus tollens ci limiteremo ad usare il gi dimostrato Modus ponens. Dal momento che questultimo vale per ogni possibile coppia di proposizioni
[math]p[/math]
e
[math]q[/math]
, esso dovr in particolare valere per le loro negazioni
[math]overli
e{p}[/math]
e
[math]overli
e{q}[/math]
. Ci ci consente di scrivere
[
frac{overline{p},overline{p} ooverline{q}}{ hereforeoverline{q}}
]
A questo punto ricordiamo che limplicazione
[math]overli
e{p}\tooverli
e{q}[/math]
equivalente alla
[math]q\to p[/math]
; dunque possiamo riscrivere la formula precedente come
[
frac{overline{p},q o p}{ hereforeoverline{q}}
]
che proprio quella relativa al Modus tollens, a patto di scambiare tra loro i nomi delle proposizioni
[math]p[/math]
e
[math]q[/math]
.
Dimostrazione del sillogismo: Vogliamo adesso dimostrare che lespressione ([(p o q)wedge(q o r)] o(p o r)) una tautologia; potremmo come al solito farlo con le tavole di verit, ma ricorreremo invece a un ragionamento diverso.
Dal momento che lespressione data unimplicazione, essa sar falsa se e solo se ([(p o q)wedge(q o r)]) vera, ma
[math](p\to r)[/math]
falsa; da questultimo fatto possiamo dedurre che
[math]p[/math]
devessere vera ed
[math]r[/math]
devessere falsa. Poich poi la congiunzione vera, sia
[math](p\to q)[/math]
sia
[math](q\to r)[/math]
devono essere vere. Dalla prima di esse, poich
[math]p[/math]
vera, deduciamo che
[math]q[/math]
vera; dalla seconda, poich
[math]r[/math]
falsa, deduciamo che
[math]q[/math]
falsa. Non potendo
[math]q[/math]
essere sia falsa che vera, comprendiamo che in nessun caso lespressione data pu essere falsa, e quindi si tratta di una tautologia.
Osservazione 3: Nella formula del Modus tollens nulla impedisce di scegliere
[math]p=overli
e{q}[/math]
. In questo caso la deduzione diventa
[
frac{overline{q},overline{q} o q}{ herefore q}
]
Questo modo di ragionare molto importante in tutta la
Matematica, e prende il nome di dimostrazione per assurdo. Esso asserisce che, volendo dimostrare una proposizione
[math]q[/math]
, lecito, per quanto strano sembri, assumere come ipotesi
[math]overli
e{q}[/math]
; se cos facendo riusciamo a far vedere che
[math]overli
e{q}\to q[/math]
vera, ovvero raggiungiamo un cosiddetto assurdo, siamo autorizzati a dedurre che la proposizione
[math]q[/math]
stessa vera.
