Logica deduttiva: definizioni e dimostrazioni

La Logica deduttiva è quella branca della Logica che si occupa di verificare la validità dei ragionamenti e delle dimostrazioni matematiche, visti come sequenze di proposizioni. A tale proposito essa adopera alcuni prefissati schemi di ragionamento, che costituiscono particolari tautologie. I principali sono dati dalle definizioni seguenti:

Definizioni

Definizione 1: Modus ponens.
Siano date due proposizioni $p$ e $q$. Supponiamo che le proposizioni $p$ e $p\to q$, dette premesse, siano entrambe vere; allora la proposizione $q$, detta conclusione, è a sua volta vera. In simboli si usa scrivere
\[
\frac{p, p\to q}{\therefore q}
\]
Definizione 2: Modus tollens.
Siano date due proposizioni $p$ e $q$. Supponiamo che le proposizioni $\overline{q}$ e $p \to q$, dette premesse, siano entrambe vere; allora la proposizione $\overline{p}$, detta conclusione, è a sua volta vera. In simboli si usa scrivere
\[
\frac{\overline{q},p\to q}{\therefore\overline{p}}
\]
Definizione 3: Sillogismo.
Siano date tre proposizioni $p,q$ ed $r$. Supponiamo che le proposizioni $p\to q$ e $q\to r$, dette premesse, siano entrambe vere; allora la proposizione $p\to r$, detta conclusione, è a sua volta vera. In simboli si usa scrivere
\[
\frac{p\to q,q\to r}{\therefore p\to r}
\]
Osservazione 1: In ciascuna delle scritture simboliche date, le premesse sono scritte al di sopra della riga orizzontale, separate da una virgola, mentre le conclusioni sono scritte al di sotto della riga stessa, precedute dal simbolo $\therefore$. Tale simbolo significa “è un teorema” o “risulta dimostrato che”.

Osservazione 2: I nomi delle regole deduttive tradiscono la loro antica origine. “Modus ponens” significa “il modo (di ragionare) che pone (la verità di $p$)”, mentre “modus tollens” significa “il modo (di ragionare) che toglie (la verità di $p$)”. “Sillogismo” viene invece dal greco, e significa “ragionamento concatenato”.

Dimostrazioni

Dimostrazione del Modus ponens: Onde dimostrare che il Modus ponens è una maniera lecita di ragionare, ci basterà far vedere che l’espressione logica $[p\wedge(p\to q)]\to q$ è una tautologia. Invece di ricorrere come al solito alle tavole di verità, cerchiamo di effettuare la dimostrazione in modo semplice e veloce.
Affinché l’espressione data non sia una tautologia, poiché essa è un’implicazione, deve succedere che $q$ sia falsa e, al contempo, $p\wedge(p\to q)$ sia vera; in particolare ciò significa che sia $p$ sia $p\toq$ devono essere vere. Ma se $q$ è falsa, $p\to q$ può essere vera se e solo se $p$ è falsa, mentre dovrebbe essere vera. Ne deduciamo che $[p\wedge(p\to q)]\to q$ è in effetti una tautologia, come volevasi.

Dimostrazione del Modus tollens: Per dimostrare il Modus tollens ci limiteremo ad usare il già dimostrato Modus ponens. Dal momento che quest’ultimo vale per ogni possibile coppia di proposizioni $p$ e $q$, esso dovrà in particolare valere per le loro negazioni $\overline{p}$ e $\overline{q}$. Ciò ci consente di scrivere
\[
\frac{\overline{p},\overline{p}\to\overline{q}}{\therefore\overline{q}}
\]
A questo punto ricordiamo che l’implicazione $\overline{p}\to\overline{q}$ è equivalente alla $q\to p$; dunque possiamo riscrivere la formula precedente come
\[
\frac{\overline{p},q\to p}{\therefore\overline{q}}
\]
che è proprio quella relativa al Modus tollens, a patto di scambiare tra loro i nomi delle proposizioni $p$ e $q$.

Dimostrazione del sillogismo: Vogliamo adesso dimostrare che l’espressione \([(p\to q)\wedge(q\to r)]\to(p\to r)\) è una tautologia; potremmo come al solito farlo con le tavole di verità, ma ricorreremo invece a un ragionamento diverso.
Dal momento che l’espressione data è un’implicazione, essa sarà falsa se e solo se \([(p\to q)\wedge(q\to r)]\) è vera, ma $(p\to r)$ è falsa; da quest’ultimo fatto possiamo dedurre che $p$ dev’essere vera ed $r$ dev’essere falsa. Poiché poi la congiunzione è vera, sia $(p\to q)$ sia $(q\to r)$ devono essere vere. Dalla prima di esse, poiché $p$ è vera, deduciamo che $q$ è vera; dalla seconda, poiché $r$ è falsa, deduciamo che $q$ è falsa. Non potendo $q$ essere sia falsa che vera, comprendiamo che in nessun caso l’espressione data può essere falsa, e quindi si tratta di una tautologia.

Osservazione 3: Nella formula del Modus tollens nulla impedisce di scegliere $p=\overline{q}$. In questo caso la deduzione diventa
\[
\frac{\overline{q},\overline{q}\to q}{\therefore q}
\]
Questo modo di ragionare è molto importante in tutta la Matematica, e prende il nome di “dimostrazione per assurdo”. Esso asserisce che, volendo dimostrare una proposizione $q$, è lecito, per quanto strano sembri, assumere come ipotesi $\overline{q}$; se così facendo riusciamo a far vedere che $\overline{q}\to q$ è vera, ovvero raggiungiamo un cosiddetto assurdo, siamo autorizzati a dedurre che la proposizione $q$ stessa è vera.

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