Logica proposizionale: definizioni ed esempi

La Logica, e in particolare la Logica proposizionale, quella branca della Matematica che si occupa di studiare la verit e la falsit delle affermazioni che possono essere formulate matematicamente. Essa si basa sulle definizioni e sui princpi seguenti.

Definizione 1: Proposizione.
In logica si chiama proposizione qualsiasi affermazione di cui si possa definire un valore di verit (vero o falso), senza che ci comporti ambiguit.

Osservazione 1: Dire che per una certa affermazione si pu definire un valore di verit significa semplicemente che essa pu essere detta vera (V) oppure falsa (F); dire che si pu far ci senza ambiguit significa invece che tale definizione inoppugnabile, non soggetta ad opinioni.

Esempio 1: Ecco di seguito alcune affermazioni:

• In questo momento sta piovendo;
• Praga si trova in Italia;
• Maradona il giocatore di calcio pi abile che si sia mai visto;
• La produzione poetica di Dante del tutto banale;
• [math]7x3=\\pi[/math]

Di esse, solamente la prima, la seconda e la quinta sono proposizioni, dal momento che il loro valore di verit pu essere ben definito, cio non dipende dalle opinioni di ciascuno. Le affermazioni numero tre e quattro, per lo stesso motivo, non hanno dignit di proposizione, e ci indipendentemente dal fatto che sia opinione diffusa che la prima di esse sia vera e la seconda sia falsa.

Osservazione 2: In verit la definizione 1 di proposizione andrebbe specializzata in maniera tale da comprendere solo quelle affermazioni che possono essere espresse in linguaggio matematico. Da questo punto di vista, solamente lultima affermazione dellesempio 1 una proposizione.
Ci si rende necessario onde evitare la molteplicit delle interpretazioni che possono sorgere dallutilizzo di un linguaggio non formale, come quello naturale (la prima frase pu essere vera un giorno e falsa un altro; la seconda, allapparenza falsa, potrebbe diventare vera se qualcuno chiamasse Praga una cittadina italiana). Ad ogni buon conto, prassi comune a questo livello naive di esposizione accettare la definizione 1 cos com.

Definizione 2: Tautologia.
Una proposizione

detta essere una tautologia quando essa sempre vera.

Definizione 3: Contraddizione.
Una proposizione

detta essere una contraddizione quando essa sempre falsa.

Esempio 2: Si considerino le due seguenti proposizioni:

• In questo momento sta piovendo, oppure non sta piovendo;
• In questo momento sta piovendo, e non sta piovendo;

La prima di esse una tautologia, nel senso che possiamo essere certi che essa sia vera anche senza conoscere il tempo atmosferico corrente. Infatti indubitabilmente vero che stia succedendo una delle due cose: o piove, o non piove.
Per lo stesso motivo, la seconda proposizione una contraddizione, nel senso che qualunque siano le condizioni del tempo in questo momento, essa certamente falsa. Ci dovuto al fatto che le eventualit di pioggia e di assenza di questultima non possono verificarsi contemporaneamente.

Princpi

In logica delle proposizioni si assumono solitamente come validi alcuni principi, di cui i due seguenti sono i pi importanti:

Principio di non contraddizione:
Una proposizione non pu essere allo stesso tempo vera e falsa.

Principio del terzo escluso:
Una proposizione che non sia vera necessariamente falsa, e viceversa.

Osservazione 3: Dalla combinazione di tali due principi segue che, data una proposizione, essa deve per forza possedere uno ed uno solo dei due valori di verit Vero o Falso. Si osservi che ci non gi contenuto nella definizione 1, dal momento che essa non dice n che i valori di verit siano solo due, n che per una proposizione non possa essere definito pi di uno di essi. Tale sottile distinzione viene sfruttata da alcuni tipi esotici di Logica, come quella cosiddetta intuizionista e quella a pi valori di verit, che non accettano i due principi sopra esposti.