Introduzione ai sistemi di equazioni
Unequazione in due incognite unequazione in cui, come suggerisce il nome stesso, compaiono due lettere come incognite; solitamente si indicano con le lettere ( x ) ed ( y ).
Un esempio di equazione in due incognite il seguente:
[2x+3y=20]
Una coppia ordinata di numeri reali soluzione di unequazione in due incognite se, sostituendo il primo numero alla prima incognita e il secondo numero alla seconda incognita, lequazione si trasforma in unuguaglianza vera.
Nellesempio di prima possiamo affermare che una soluzione dellequazione in due incognite la coppia ordinata ( (1; 6) ), infatti, sostituendo nellequazione:
[2cdot1+3cdot6=2+18=20]
Notiamo che tale soluzione non unica; infatti, anche la coppia ordinata
[2cdot16+3cdot(-4)=32-12=20]
Linsieme delle soluzioni di unequazioni in due incognite perci un insieme di coppie ordinate di numeri reali; poich ogni coppia di punti rappresenta un punto nel piano cartesiano, possiamo considerare linsieme delle soluzioni come un sottoinsieme dellinsieme dei punti del piano:
[Ssubseteqmathbb{R} imesmathbb{R}]
Anche unequazione in due incognite, cos come le equazioni ad una incognita, pu essere determinata, indeterminata, o impossibile:
- unequazione in due incognite si dice determinata se linsieme delle sue soluzioni costituito da un numero finito di coppie ordinate di numeri reali.
Esempio di equazione determinata
L'equazione (x^2+y^2=0) determinata; infatti, la somma di due quadrati (che sono quantit positive o nume) zero se e solo se entrambi i numeri sono zero; quindi, lunica coppia ordinata che soddisfa lequazione
Unequazione in due incognite si dice indeterminata se linsieme delle sue soluzioni costituito da un numero infinito di coppie ordinate di numeri reali.
Esempio di equazione indeterminata
Consideriamo la seguente equazione:
[y=2x]
Alcune delle sue soluzioni sono le coppie ((1; 2), (2; 4), (5; 10)...)
Notiamo che tutte le coppie in cui il primo elemento sia la met del secondo sono soluzioni dellequazione, e le coppie di numeri reali di questo tipo sono infinite.
- Unequazione si dice impossibile se linsieme delle sue soluzioni linsieme vuoto.
Esempio di equazione impossibile
Consideriamo lequazione
[x^2+y^2=-1].
La somma di due quadrati, che sono quantit positive o nulle, necessariamente deve essere positiva o nulla; non pu quindi essere una quantit negativa.
- Unequazione in due incognite unidentit se qualunque coppia ordinata di numeri reali una sua soluzione (escluse quelle coppie che fanno perdere significato allequazione stessa).
Esempio di identit
Consideriamo la seguente equazione, che rappresenta lo sviluppo del quadrato del binomio:
[(x+y)^2=x^2+2xy+y^2]
Poich lequazione rappresenta una formula universale, qualsiasi coppia ordinata che viene sostituita alle incognite dar unuguaglianza vera.
Cos come le equazioni ad una incognita, anche quelle a due incognite possono essere intere, frazionarie o letterali.
I principi di equivalenza sono validi anche per le equazioni a due incognite e, anche per questo tipo di equazioni si pu parlare di forma canonica, espressa in questo modo:
[P(x;y)=0]
Rappresentazione grafica delle soluzioni di unequazione
Sapendo che le soluzioni delle equazioni a due incognite sono coppie ordinate e che le coppie ordinate rappresentano punti del piano cartesiano, possiamo pensare di rappresentare linsieme delle soluzioni graficamente. Consideriamo lequazione[2x+3y=20]
Risolviamo lequazione ricavando
[3y=-2x+20\
y=-frac{2}{3}x+frac{20}{3}]
Le equazioni del tipo (y = mx + q) rappresentano delle funzioni lineari, che nel piano cartesiano sono delle rette. Notiamo, infatti, che le equazioni di questo tipo sono indeterminate, perch si possono trovare infinite coppie di numeri reali che sostituite alle incognite danno unuguaglianza vera.
Per disegnare in grafico corrispondente, sufficiente riportare nel piano cartesiano due coppie di punti che rappresentano due soluzioni, e tracciare poi una retta che li congiunga:
[url=https://www.skuola.net/news_foto/2015/09/Schermata-da-2015-09-22-193405.png][/url]
Possiamo considerare unequazione in due incognite in forma generale:
[ax+by+c=0]
Esaminiamo diversi casi:
- se [math]b[/math]diverso da zero, possiamo trasformare lequazione in questo modo:[ax+by+c=0
ightarrow\by=-ax-c
ightarrow\y=-frac{a}{b}x-frac{c}{b}] Linsieme delle soluzioni rappresenta, in questo caso, una retta non parallela allasse delle[math]y[/math]. - Se (b=0 wedge a
eq0) lequazione si pu scrivere in questo modo:[x=-frac{c}{a}] e lequazione rappresenta una retta parallela allasse delle[math]y[/math]. - Se invece (b=0 wedge a=0 ), lequazione si riduce a [math]c=0[/math], quindi avremmo unidentit se[math]c=0[/math], altrimenti lequazione sar impossibile.
