Sistemi lineari di equazioni

Definizioni

• Un sistema di equazioni un insieme di due o pi equazioni considerate contemporaneamente.

Le equazioni che fanno parte del sistema si scrivono una sotto laltra, su righe diverse, e si riuniscono con una parentesi graffa posta alla loro sinistra.

• Il grado di un sistema di equazioni il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono.

Queste definizioni sono valide per qualsiasi tipo di equazione; infatti non tengono conto del numero di incognite che vi compaiono.

I sistemi di primo grado sono composti da equazioni di primo grado, e vengono definiti sistemi lineari di equazioni.

Un esempio di sistemi lineari sono quelli costituiti da due equazioni a due incognite, come il seguente:

Questo sistema, in cui nelle equazioni tutti i termini con le incognite sono al primo membro e i termini noti al secondo, viene detto in forma normale, o canonica.

Soluzioni di un sistema a due incognite

Una coppia ordinata di numeri reali soluzione di un sistema di equazioni in due incognite se, sostituendo tali numeri alle corrispondenti variabili, tutte le equazioni del sistema si trasformano in uguaglianze vere.

Cos come per le equazioni, due sistemi di equazioni sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.

Notiamo che ogni soluzione del sistema anche soluzione delle singole equazioni; possiamo affermare, quindi, che linsieme delle soluzioni di un sistema di equazioni equivalente all intersezione degli insiemi delle soluzioni di tutte le sue equazioni.

Risolvere un sistema significa determinare linsieme delle sue soluzioni.

Un sistema di equazioni pu essere:

• determinato: se linsieme delle soluzioni costituito da un numero finito di elementi;
• indeterminato: se linsieme delle soluzioni costituito da un numero infinito di elementi;
• impossibile: se linsieme delle soluzioni linsieme vuoto.

Per controllare che una coppia di numeri reali soluzione del sistema, occorre sostituirla alle incognite delle singole equazione, e verificare che ciascuna di esse dia luogo ad unuguaglianza vera; se anche solo unequazione porta ad unuguaglianza falsa, la coppia considerata non soluzione del sistema.

Se unequazione del sistema risulta essere impossibile, allora lintero sistema sar impossibile.

Interpretazione grafica dei sistemi lineari di equazioni

Consideriamo in generale sistema di equazioni a due incognite:

Chiamiamo le equazioni del sistema eq.1 e eq.2.

Come abbiamo affermato in precedenza, linsieme delle soluzioni desistemmo dato dallintersezione degli insiemi delle soluzioni delle singole equazioni, quindi:

[S=S_1 cap S_2 ]

Ogni equazione che compone il sistema pu essere ricondotta alla forma

, e rappresenta quindi, nel piano cartesiano, lequazione di una retta. Chiamiamo le due equazioni in questo modo:
[
r_1:a_1x+b_1y=c_1\
r_2:a_2x+b_2y=c_2
]

Ogni retta nel piano cartesiano rappresenta un insieme infinito di coppie di punti, che corrisponde allinsieme delle soluzioni della relativa equazione. Quindi, dato che possiamo indicare linsieme delle soluzioni delle equazioni con le rette stesse, linsieme delle soluzioni del nostro sistema rappresentato, sul piano cartesiano, da:
[
r_1 cap r_2
]

Questo insieme pu essere anche vuoto.

Vediamo ora i tre casi che si possono presentare:

1. Se le rette coincidono, le soluzioni del sistema saranno tutte le coppie ordinate di punti che appartengono alla retta; poich una retta costituita da un insieme infinito di punti, il sistema avr infinite soluzioni, e sar quindi indeterminato: [r_1 cap r_2 = r_1
   ightarrow S_1 cap S_2 = S_1 ]
2. Se le due rette sono parallele, le rette non hanno nessun punto in comune; di conseguenza, non esiste nessun punto che sia soluzione comune delle equazione che le rappresentano, e linsieme delle soluzioni del sistema linsieme vuoto; il sistema pertanto impossibile: [r_1 cap r_2 = oslash
   ightarrow S_1 cap S_2 =oslash ]
3. Se le due rette sono incidenti, cio si intersecano in un punto
   [math]P ( x0 ; y0 )[/math]
   , le coordinate di questo punto appartengono ad entrambe le rette; quindi, le coordinate del punto sono soluzione di entrambe le equazioni, e rappresentano dunque lunica soluzione del sistema; il sistema quindi determinato: [r_1 cap r_2 = {P}
   ightarrow S_1 cap S_2 = {(x_0;y_0)}]

Riassumiamo quanto detto in uno schema grafico:

[caption id="attachment_13632" align="alignnone" width="300"][/url] Sistema determinato

[caption id="attachment_13633" align="alignnone" width="300"] Sistema indeterminato

[caption id="attachment_13634" align="alignnone" width="300"][url=https://www.skuola.net/news_foto/2015/09/sistema-impossibile.jpg] Sistema impossibile