Funzione razionale intera
Studiamo la funzione di equazione[math] f(x) = x^3 + 2x^2 - 3 [/math]
- Per prima cosa, notiamo che la funzione, come tutte le funzioni razionali intere, è definita in tutto l'asse reale, quindi il suo dominio coincide con [math]\mathbb{R}[/math];
- Cerchiamo di capire se la funzione presenta simmetrie. Poiché si ha: [math] f(-x) = (-x)^3 + 2(-x)^2 - 3 = -x^3 +2x^2 - 3 [/math]possiamo concludere che la funzione non presenta simmetrie, e quindi, non è né pari né dispari;
- Determiniamo le intersezioni della funzione con gli assi cartesiani, e risolviamo i seguenti sistemi: [math] \begin{cases} y=x^3+2x^2-3 \\ y=0 \end{cases} ; \begin{cases}y=x^3+2x^2-3 \\ x=0 \end{cases} [/math]dai quali abbiamo i punti di intersezione[math](0;-3)[/math]e[math](1;0)[/math];
- Studiamo ora il segno della funzione, determinando gli intervalli in cui essa è positiva; risolviamo, quindi, la seguente disequazione: [math] x^3 + 2x^2 -3 \gt 0 [/math]La disequazione è verificata per[math]x \gt 1[/math], quindi possiamo affermare che in questo intervallo si ha[math]f(x) \gt 0[/math]; al contrario, per[math] x \lt 1[/math], si ha[math] f(x) \lt 0 [/math];
- Cerchiamo gli eventuali asintoti della funzione. Studiamo il limite per x che tende a più o meno infinito: [math] \lim_{x \rightarrow +\infty} (x^3+2x^2-3) = +\infty [/math][math] \lim_{x \rightarrow -\infty} (x^3+2x^2-3) = -\infty [/math]La funzione, quindi, non ammette asintoti orizzontali, in quanto entrambi i limiti precedenti sono infiniti. Inoltre, poiché la funzione è definita in tutto[math]\mathbb{R}[/math], non può avere asintoti verticali. Possiamo, però, ricercare gli asintoti obliqui; studiamo, quindi, il seguente limite per determinare l'eventuale coefficiente angolare dell'asintoto:[math] m=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^3+2x^2-3}{x} = +\infty [/math]Dato che il limite precedente è infinito, la funzione non ha neanche asintoti obliqui;
- Calcoliamo la derivata della funzione, e cerchiamo gli eventuali punti stazionari: [math] f'(x) = 3x^2+4x [/math]Risolviamo quindi la seguente equazione:[math] f'(x) = 0 \rightarrow 3x^2 + 4x = 0 [/math]Dalle soluzioni della disequazione, possiamo determinare due punti stazionari, che hanno ascisse:[math]x_1 = 0, x_2 = -\frac{4}{3} [/math]Studiando il segno della derivata prima, troviamo i seguenti intervalli, nei quali la funzione è crescente:[math] x \lt -\frac{4}{3} \vee x \gt 0 [/math]
- Determiniamo la derivata seconda della funzione, e cerchiamo gli eventuali punti di flesso: [math] f''(x) = 6x+4 [/math]Risolviamo la seguente equazione:[math] f''(x) = 0 \rightarrow 6x+4=0 [/math]Da cui otteniamo il punto di ascissa (-2/3). Studiando il segno della derivata seconda, troviamo che per[math]x \gt -2/3[/math], la funzione volge la concavità verso l'alto, e che quindi, per[math]x \lt -2/3[/math], la funzione volge concavità verso il basso.
Funzione esponenziale
Studiamo la funzione di equazione[math] y=e^{\frac{x-1}{x}} [/math]
- La funzione esponenziale è definita per ogni valore di [math]x[/math]; tuttavia, in questo caso l'esponente di[math]e[/math]è una frazione, definita per[math]x \ne 0[/math]. Il dominio della funzione è, quindi,[math]\mathbb{R} - {0}[/math];
- La funzione non presenta simmetrie. Infatti, abbiamo: [math] f(-x) = e^{\frac{-x-1}{-x}} = e^{\frac{x+1}{x}} [/math]la funzione, quindi, non è né pari né dispari;
- Determiniamo le intersezioni della funzione con gli assi cartesiani; sapendo che la funzione non è definita in zero, possiamo cercare solo le intersezioni con l'asse [math]x[/math]:[math] \begin{cases} y=e^{\frac{x-1}{x}} \\ y = 0 \end{cases} [/math]Poiché la funzione esponenziale non si annulla mai, concludiamo che non vi sono intersezioni con gli assi;
- Studiamo ora il segno della funzione, determinando gli intervalli in cui essa è positiva; risolviamo, quindi, la seguente disequazione: [math] e^{\frac{x-1}{x}} \gt 0 [/math]La disequazione è sempre verificata, quindi la funzione si trova sempre al di sopra dell'asse[math]x[/math].
- Cerchiamo gli eventuali asintoti della funzione. Studiamo il limite per [math]x[/math]che tende a più o meno infinito:[math] \lim_{x \rightarrow \infty} e^{\frac{x-1}{x}} = e [/math]Poiché il limite esiste ed è finito, possiamo affermare che la retta[math]y = e[/math]è asintoto orizzontale per la funzione[math]f(x)[/math]. Dato che la funzione non è definita in[math]x = 0[/math], è lecito ricercare l'asintoto verticale. Calcoliamo, quindi, il limite per[math]x[/math]che tende a zero:[math]\lim_{x\rightarrow 0^{+}} e^{\frac{x-1}{x}} = 0 \mbox{ , } \lim_{x\rightarrow 0^{-}} e^{\frac{x-1}{x}} = +\infty [/math]Possiamo concludere che la funzione ha[math]x = 0[/math]come asintoto verticale sinistro;
- Calcoliamo la derivata della funzione, e cerchiamo gli eventuali punti stazionari: [math] f'(x) = e^{\frac{x-1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} [/math]. Risolviamo quindi la seguente equazione:[math] f'(x) \gt 0 \rightarrow e^{\frac{x-1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} \gt 0 [/math]La disequazione è verificate per ogni[math]x[/math]del dominio, quindi la funzione è crescente in tutto il dominio;
- Determiniamo la derivata seconda della funzione, e cerchiamo gli eventuali punti di flesso: [math] f''(x) = e^{\frac{x-1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2} + e^{\frac{x-1}{x}} \cdot \frac{-2x}{x^4} = e^{\frac{x-1}{x}} \cdot \frac{1}{x^4} \cdot (1-2x) [/math]Risolviamo la seguente equazione:[math] f''(x) = 0 [/math]Da cui otteniamo il punto di ascissa (1/2), che è un punto di flesso per la funzione.
[math] x \lt 1/2[/math]
, la funzione volge la concavità verso l'alto, e che quindi, per [math] x \gt 1/2[/math]
, la funzione volge concavità verso il basso.Possiamo ora tracciare il grafico della funzione:
