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di _stan
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Definizione

Si definisce simmetria rispetto ad una retta
[math]r[/math]
l'affinità
[math]S_r[/math]
che lascia uniti i punti P che appartengono ad
[math]r[/math]
e che trasforma ogni punto P non appartenente ad
[math]r[/math]
nel punto P' tale che r sia l'asse del segmento PP'.

Simmetria assialeConsideriamo due punti del piano P e Q e una retta

[math]r[/math]
; i punti P' e Q' sono ottenuti da P e Q tramite una simmetria rispetto alla retta
[math]r[/math]
.
I triangoli che si formano PHQ e P'H'Q' sono congruenti, e pertanto hanno i cateti uguali; in particolare, abbiamo che PQ = P'Q'. Possiamo quindi affermare che la simmetria assiale è una isometria, in quanto trasformazione in cui si conservano le distanze.

Inoltre, possiamo affermare che tutti i punti che appartengono alla retta

[math]r[/math]
sono punti uniti, cioè vendono mandati in se stessi dalla trasformazione; e anche tutti i punti che appartengono a rette perpendicolari alla retta r sono uniti; di conseguenza, sono unite tutte le rette perpendicolari a
[math]r[/math]
.

Così come nel caso della simmetria centrale, anche per la simmetria assiale si ha che: [ S_r^{-1} = S_r Rightarrow S_r ast S_r = I ]

Formule analitiche

Vediamo ora alcune formule che ci permettono di determinare la posizione dei punti nel piano cartesiano, che si ottengono tramite simmetria assiale.

Distinguiamo alcuni casi, in base alla posizione della retta

[math]r[/math]
, asse di simmetria.
  • simmetria rispetto alla retta r parallela all'asse x: [ r: y = y_0 ]

Simmetria rispetto a una retta parallela all'asse delle ascisse

In questo caso, il punto P e il suo trasformato P' hanno uguale ascissa; l'equazione della trasformazione è la seguente: [ S_r: \begin{cases} x' = x \ y' = -y + 2y_0 end{cases} ]

La matrice dei coefficienti è la matrice A, di determinante uguale a -1: [ A = \begin{pmatrix} 1&0 \ 0&-1 end{pmatrix} ,,,, , ,,,, mbox{det}(A) = -1 ]

  • simmetria rispetto alla retta
    [math]r[/math]
    parallela all'asse
    [math]y[/math]
    : [ r: x= x_0 ]
In questo caso, il punto P e il suo trasformato P' hanno uguale ordinata;

Simmetria rispetto a una retta parallela all'asse delle ordinate

l'equazione della trasformazione è la seguente: [ S_r: \begin{cases} x'=-x+2x_0 \ y' = y end{cases} ]

La matrice dei coefficienti è la matrice A, di determinante uguale a -1: [ A = \begin{pmatrix} -1&0 \ 0&1 end{pmatrix} ,,,, , ,,,, mbox{det}(A) = -1 ]

  • simmetria rispetto alla retta
    [math]r[/math]
    obliqua
Se P e P', di coordinate rispettivamente
[math](x; y)[/math]
e
[math](x'; y')[/math]
, sono punti corrispondenti, simmetrici rispetto alla retta
[math]r[/math]
di equazione
[math]y = mx + q[/math]
, la trasformazione è espressa dalle seguenti equazioni:

[ S_r: \begin{cases} x'=frac{1}{1+m^2} cdot Big[(1-m^2)x+2my-2mq Big] \ y'=frac{1}{1+m^2} cdot Big[2mx+(m^2-1)y+2q Big] end{cases} ]

Anche in questo caso, la matrice associata

[math]A[/math]
ha determinante uguale a
[math]-1[/math]
:

[ A= \begin{pmatrix} frac{1-m^2}{1+m^2}&frac{2m}{1+m^2} \ frac{2m}{1+m^2}&frac{m^2-1}{1+m^2} end{pmatrix} ,,,, , ,,,, mbox{det}(A) = -1 ]

In particolare, nel caso in cui

[math]r[/math]
sia la bisettrice del 1° e del 3° quadrante, il coefficiente angolare
[math]m[/math]
è uguale a 1, e
[math]q[/math]
risulta uguale a zero. Quindi, sostituendo questi valori alle equazioni viste in precedenza, abbiamo che:

[ x' = y ,,,, mbox{e} ,,,, y' = x ]

Se invece la retta in questione è bisettrice del 2° e del 4° quadrante, il suo coefficiente angolare

[math]m[/math]
è -1, e si ha
[math]q = 0[/math]
, quindi, sostituendo abbiamo:

[ x' = -y ,,,, mbox{e} ,,,, y' = -x ]

Composizione di due simmetrie assiali

Consideriamo due simmetrie assiali rispetto alle rette
[math]r[/math]
ed
[math]s[/math]
; considerando la loro composizione, distinguiamo due casi, in cui le rette
[math]r[/math]
ed
[math]s[/math]
sono parallele o incidenti.
  • rette
    [math]r[/math]
    ed
    [math]s[/math]
    parallele

Composizione di simmetrie assiali: rette parallele

In questo caso, se

[math]A[/math]
è un punto di
[math]r[/math]
e
[math]B[/math]
è un punto di
[math]s[/math]
, con (AB perp r), la composizione di simmetrie equivale ad una traslazione di vettore
[math]2AB[/math]
:

[ \tau = S_s ast S_r = 2 vec{AB} ]

In questo caso, la trasformazione non gode della proprietà commutativa; infatti, la trasformazione inversa risulta essere:

[ \tau^{-1} = S_r ast S_s = 2 vec{BA} = -2 vec{AB} ]

  • rette r ed s incidenti
In questo caso, se le rette sono incidenti e si incontrano in un punto
[math]C[/math]
, esse formano tra loro un angolo (alpha); possiamo allora affermare che la composizione delle simmetrie assiali rispetto alle due rette equivale alla rotazione di centro
[math]C[/math]
e angolo (2alpha):

Simmetria assiale rispetto a due rette incidenti

[ \rho_{C,2alpha} = S_S ast S_r ]

In particolare, le se rette sono incidenti e formano un angolo di 90°, cioè se le rette sono perpendicolari, allora la composizione delle simmetrie rispetto a tali rette è una rotazione di 180° rispetto al loro punto di intersezione; è pertanto, una simmetria rispetto a tale punto.

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