La simmetria centrale

Definizione

Si definisce simmetria centrale rispetto ad un punto C la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che associa ad ogni punto P il punto P’ tale che il punto C sia il punto medio del segmento PP’.

 

Simmetria centrale: punto medio di un segmento

 

Per questo tipo di trasformazione, abbiamo che il punto C è l’unico punto che viene mandato in se stesso, è quindi l’unico punto unito; inoltre, sono unite tutte le rette che passano per C.

Simmetria centrale: due punti del piano rispetto a un centro CLe simmetrie centrali sono isometrie, infatti, se consideriamo due punti qualsiasi del piano, P e Q, e i loro corrispondenti P’ e Q’ nella simmetria di centro C, notiamo che si formano due triangolo congruenti PQC e P’Q’C; in particolare, sono congruenti i lati PQ e P’Q’. Da questo, possiamo dedurre che la trasformazione preserva le distanze, e si tratta quindi di un’isometria.

Possiamo anche affermare che la simmetria centrale è una rotazione di angolo \(\pi\) ( o \(-\pi\) ) e centro C.

L’inversa di una simmetria, inoltra, è se stessa, poiché se componiamo due simmetrie centrali fra loro ( simmetrie rispetto lo stesso centro ), otteniamo l’identità:

\[ S_C \ast S_C = I \Rightarrow S^{-1}_C = S_C \]

 

Formule analitiche

Le simmetrie centrali possono essere descritte da formule analitiche, che permettono di determinare le coordinate dei nuovi punto che si ottengono mediante una simmetria centrale.

Consideriamo il punto P di coordinate ( x ; y ) e il punto P’ di coordinate ( x’ ; y’ ), ottenuto da P mediante una simmetria di centro C, di coordinate \((x_0 ; y_0)\) .

Poiché C è il punto medio del segmento PP’, sappiamo che le sue coordinate sono date da:

\[ x_0 = \frac{x+x’}{2} \,\,\,\, , \,\,\,\, y_o = \frac{y+y’}{2} \]

Da queste relazioni, possiamo ricavare le equazioni della simmetria centrale:

\[ S_C: \begin{cases} x’=2x_0 -x \\ y’ = 2y_o – y \end{cases} \]

La simmetria centrale ha matrice dei coefficienti la matrice A, che ha sempre determinante uguale a 1:

\[ A = \begin{pmatrix} -1  & 0 \\ 0  & -1 \end{pmatrix} \,\,\,\, , \,\,\,\, \mbox{det}(A) = 1 \]

 

Composizione di due simmetrie centrali

Composizione di simmetrie centraliConsideriamo due simmetrie centrali di centro, rispettivamente, $C_1$ e $C_2$; la loro composizione risulta essere la seguente:

\[ \tau = S_{C_1} \ast S_{C_2} \]

e si può dimostrare che la composizione di due simmetrie centrali equivale alla traslazione di vettore $v$:

\[ \overrightarrow{v} = 2 \overrightarrow{C_1C_2} \]

Infatti, operando prima su P la simmetria di centro $C_1$, e poi su P’ la simmetria di centro $C_2$, notiamo che il punto P’’ che si ottiene può essere direttamente ottenuto da P tramite una traslazione.

 

Determinazione dell’equazione di una curva simmetrica ad una curva data, rispetto ad un punto C

Consideriamo una curva \(\gamma\) la cui equazione può essere espressa come $f(x, y)=0$, e un punto C di coordinate \((x_0; y_0)\) che rappresenta il centro di simmetria; supponiamo di voler determinare la curva \(\gamma’\) simmetrica di \(\gamma\) rispetto a C.

Sapendo che le equazioni della simmetria centrale sono le seguenti:

\[ S_C: \begin{cases} x’=2x_0-x \\ y’=2y_0-y \end{cases} \]

possiamo determinare le equazioni della simmetria inversa:

\[ S^{-1}_C: \begin{cases} x=2x_0-x’ \\ y=2y_0-y’ \end{cases} \]

Le equazioni di \(\gamma’\) si possono ottenere sostituendo, all’equazione di \(\gamma\), le $x$ ed $y$ determinate dalle equazioni della simmetria inversa.

Quindi, le equazioni di \(\gamma’\) sono date da:

\[ \gamma’: f(2x_0 – x’; 2y_0 – y’) = 0 \]

 

Determinare il centro di simmetria di una curva

Consideriamo una curva \(\gamma\) di equazione $f(x, y)=0$, e supponiamo che essa sia simmetrica rispetto ad un punto $P_0$ di coordinate $( x_0 ; y_0 )$.

Se il punto $P(x; y)$ appartiene a \(\gamma\), allora anche il punto $P’ ( x’ ; y’)$, simmetrico di P rispetto a $P_0$ appartiene a \(\gamma\). Considerando che $P_0$ deve essere il punto medio del segmento $PP’$, sappiamo che le sue coordinate devono necessariamente essere:

\[ x_0 = \frac{x+x’}{2} \,\,\, \, \mbox{e} \,\,\,\, y_0 = \frac{y+y’}{2} \]

Possiamo ricavare le coordinate del punto $P’$ in funzione di quelle di P e $P_0$:

\[ xì=2x_0-x \,\,\,\, \mbox{e}\,\,\,\, y’=2y_0-y \]

Concludiamo affermando che il punto $P_0$ è centro di simmetria per la curva \(\gamma\) solo se l’appartenenza di P a \(\gamma\) implica l’appartenenza di $P’$ a \(\gamma\); quindi, si ha:

\[ f(x,y) = 0 \Rightarrow f(2x_0-x, 2y_0-y)=0 \]

 

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