La simmetria centrale

Definizione

Si definisce simmetria centrale rispetto ad un punto C la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che associa ad ogni punto P il punto P' tale che il punto C sia il punto medio del segmento PP'.

Per questo tipo di trasformazione, abbiamo che il punto C è l'unico punto che viene mandato in se stesso, è quindi l'unico punto unito; inoltre, sono unite tutte le rette che passano per C.

Le simmetrie centrali sono isometrie, infatti, se consideriamo due punti qualsiasi del piano, P e Q, e i loro corrispondenti P' e Q' nella simmetria di centro C, notiamo che si formano due triangolo congruenti PQC e P'Q'C; in particolare, sono congruenti i lati PQ e P'Q'.

Da questo, possiamo dedurre che la trasformazione preserva le distanze, e si tratta quindi di un'isometria.

Possiamo anche affermare che la simmetria centrale è una rotazione di angolo (pi) ( o (-pi) ) e centro C.

L'inversa di una simmetria, inoltra, è se stessa, poiché se componiamo due simmetrie centrali fra loro ( simmetrie rispetto lo stesso centro ), otteniamo l'identità:

[ S_C ast S_C = I Rightarrow S^{-1}_C = S_C ]

Formule analitiche

Le simmetrie centrali possono essere descritte da formule analitiche, che permettono di determinare le coordinate dei nuovi punto che si ottengono mediante una simmetria centrale.

Consideriamo il punto P di coordinate ( x ; y ) e il punto P' di coordinate ( x' ; y' ), ottenuto da P mediante una simmetria di centro C, di coordinate ((x_0 ; y_0)) .

Poiché C è il punto medio del segmento PP', sappiamo che le sue coordinate sono date da:

[ x_0 = frac{x+x'}{2} ,,,, , ,,,, y_o = frac{y+y'}{2} ]

Da queste relazioni, possiamo ricavare le equazioni della simmetria centrale:

[ S_C: \begin{cases} x'=2x_0 -x \ y' = 2y_o - y end{cases} ]

La simmetria centrale ha matrice dei coefficienti la matrice A, che ha sempre determinante uguale a 1:

[ A = \begin{pmatrix} -1 &0 \ 0 &-1 end{pmatrix} ,,,, , ,,,, mbox{det}(A) = 1 ]

Composizione di due simmetrie centrali

Consideriamo due simmetrie centrali di centro, rispettivamente, e ; la loro composizione risulta essere la seguente:

[ \tau = S_{C_1} ast S_{C_2} ]

e si può dimostrare che la composizione di due simmetrie centrali equivale alla traslazione di vettore

:

[ overrightarrow{v} = 2 overrightarrow{C_1C_2} ]

Infatti, operando prima su P la simmetria di centro

, e poi su P' la simmetria di centro , notiamo che il punto P'' che si ottiene può essere direttamente ottenuto da P tramite una traslazione.

Determinazione dell'equazione di una curva simmetrica ad una curva data, rispetto ad un punto C

Consideriamo una curva (gamma) la cui equazione può essere espressa come , e un punto C di coordinate ((x_0; y_0)) che rappresenta il centro di simmetria; supponiamo di voler determinare la curva (gamma') simmetrica di (gamma) rispetto a C.

Sapendo che le equazioni della simmetria centrale sono le seguenti:

[ S_C: \begin{cases} x'=2x_0-x \ y'=2y_0-y end{cases} ]

possiamo determinare le equazioni della simmetria inversa:

[ S^{-1}_C: \begin{cases} x=2x_0-x' \ y=2y_0-y' end{cases} ]

Le equazioni di (gamma') si possono ottenere sostituendo, all'equazione di (gamma), le

ed determinate dalle equazioni della simmetria inversa.

Quindi, le equazioni di (gamma') sono date da:

[ gamma': f(2x_0 - x'; 2y_0 - y') = 0 ]

Determinare il centro di simmetria di una curva

Consideriamo una curva (gamma) di equazione , e supponiamo che essa sia simmetrica rispetto ad un punto di coordinate .

Se il punto

appartiene a (gamma), allora anche il punto , simmetrico di P rispetto a appartiene a (gamma). Considerando che deve essere il punto medio del segmento , sappiamo che le sue coordinate devono necessariamente essere:

[ x_0 = frac{x+x'}{2} ,,, , mbox{e} ,,,, y_0 = frac{y+y'}{2} ]

Possiamo ricavare le coordinate del punto

in funzione di quelle di P e :

[ xì=2x_0-x ,,,, mbox{e},,,, y'=2y_0-y ]

Concludiamo affermando che il punto

è centro di simmetria per la curva (gamma) solo se l'appartenenza di P a (gamma) implica l'appartenenza di a (gamma); quindi, si ha:

[ f(x,y) = 0 Rightarrow f(2x_0-x, 2y_0-y)=0 ]

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