Apotema dell'esagono: formulario e definizione

Nel seguente appunto vedremo innanzitutto la definizione di esagono, e, in particolare di esagono regolare. Vedremo inoltre come determinare l'area e il perimetro di un esagono regolare avendo a disposizione la misura di uno dei suoi lati; e determinate costanti chiamati numeri fissi.

L'esagono

Un esagono è un poligono avente sei lati e sei vertici. Esistono ovviamente infiniti esagoni, ma l'obiettivo di questo appunto è quello di soffermarsi solo su alcuni tipi particolari di esagoni.
Un esagono si dice equiangolo se ha tutti gli angoli uguali. Similmente, un esagono si dice equilatero se ha tutti i lati uguali. Diremo, quindi, correlando il tutto, che un esagono si dice regolare se ha tutti i lati e tutti gli angoli uguali.
Un esagono regolare ha quindi tutti i lati di ampiezza uguale e, assieme ad essi, gli angoli di ampiezza uguale, che avranno quindi misura .

Per ulteriori approfondimenti sull'esagono vedi anche qua

Apotema di un esagono

Vediamo insieme cosa si intende quando si parla di apotema di un esagono: un esagono regolare, per ragioni di simmetria, possiamo dire che è sia inscrivibile che circoscrivibile. In questo appunto, ci soffermeremo in particolare sulla circonferenza inscritta, che, per definizione, è una circonferenza interna all'esagono e tangente a tutti e 6 i suoi lati. Ogni circonferenza, ovviamente ha un suo raggio. Il raggio della circonferenza inscritta nell'esagono è detto apotema dell'esagono regolare.
Alternativamente, dato che il centro della circonferenza inscritta sarà anche il centro dell'esagono, l'apotema può essere definito come la lunghezza di un segmento che parte dal centro della circonferenza e cade perpendicolarmente ad uno dei lati.

Per approfondimenti sull'apotema, vedi anche qua.

Calcolo dell'apotema di un esagono

Per introdurre la prima formula e capire come si calcola l'apotema di un esagono regolare, dobbiamo introdurre la costante matematica chiamata numero fisso (indicato con la lettera ). Si tratta di un valore noto ed è unico per ogni figura geometrica regolare. Esso è quindi una costante che varia a seconda del tipo di figura regolare. Assume un valore per tutti gli esagoni, uno per tutti gli ettagoni, uno per gli ottagoni... e così via.
Il numero fisso dell'esagono è pari a:
Con questa costante riusciamo a calcolare l'apotema dell'esagono a partire dal lato, attraverso la formula:
Non è l'unico modo, tuttavia, per ottenere l'apotema dell'esagono. Se conosciamo l'area e il suo perimetro, infatti, sappiamo che esse sono legate dalla relazione:
Da questa uguaglianza, ricaviamo la formula inversa:
Se invece conosciamo solo l'area, la formula necessaria è:
L'esagono regolare è un poligono regolare molto particolare: immaginiamo di tagliarlo in sei spicchi triangolari con dei tagli che partano dal centro del poligono per ricongiungersi con i vertici del poligono. Possiamo notare molto bene che si formano sei triangoli equilateri.
Il fatto che i triangoli siano equilateri ci suggerisce una proprietà interessante: in un esagono regolare la misura del raggio della circonferenza circoscritta ha la stessa misura del lato dell'esagono.
Per questo, possiamo calcolare anche l'apotema a partire dal raggio della circonferenza circoscritta, semplicemente usando la stessa formula che lega l'apotema al lato. Infatti:

Area dell'esagono

Una volta noto il nostro numero fisso grazie al quale possiamo facilmente ricavare l'apotema, sarà possibile calcolare l'area dell'esagono. Infatti, in ogni poligono regolare vale la relazione:
dove è il semiperimetro. In definitiva l'area di un esagono è data dalla seguente formula:

Problema di esempio

Sapendo che un esagono regolare ha l'area di , determinare la lunghezza del lato dell'esagono.
Svolgimento: Possiamo utilizzare la formula che lega l'apotema all'area:
Andando a sostituire i dati del problema (e il numero fisso che è sempre uguale a 0,866) si ottiene:
Ora, sapendo che il rapporto tra l'apotema e il lato dell'esagono è proprio il numero fisso, basta dividere la misura dell'apotema per il numero fisso dell'esagono, ottenendo:
L'esagono ha quindi lato 54 cm.
Se avessimo avuto, come ulteriore richiesta, il perimetro dell'esagono, ci sarebbe stato sufficiente moltiplicare questo valore per 6, senza necessariamente utilizzare la definizione di semiperimetro come rapporto tra il valore dell'area e il valore dell'apotema. Si ottiene, di conseguenza: