Equazione di Maxwell e topologia

Che cos’hanno in comune? Secondo uno studio pubblicato su “Physical Review Letters” da Hridesh Kedia, del Dipartimento di fisica dell’Università di Chicago, le equazioni di Maxwell, perla dell’elettromagnetismo, hanno nuove soluzioni che possono essere pensate “a forma di nodo”. Innanzi tutto, vediamo quali sono i componenti di questa nuova inedita coppia.

Nel “Trattato sull’elettricità ed il magnetismo” del 1873, James Clerk Maxwell enuncia quattro importanti leggi, note come “Equazioni di Maxwell”, che dimostrano come non sia più possibile studiare il campo elettrico e il campo magnetico in modo isolato: nel caso dinamico i due campi sono due diversi aspetti di un unico ente fisico. Queste leggi sono quindi un’importante e profonda sintesi del lavoro dei suoi predecessori, ma non mancano le innovazioni. Anche per l’epoca – come accade per i nostri studenti – la teoria di Maxwell appariva matematicamente difficile e solo l’intervento di Heinrich Hertz permise un’ampia diffusione e una maggiore comprensione dell’importanza delle equazioni per la fisica. Egli scrisse una “monografia riassuntiva dell’elettrodinamica che divenne un classico e servì ad aprire i suggelli per coloro che non erano in grado di penetrare l’opera originale di Maxwell” (Segrè, Personaggi e scoperte della fisica).

La topologia vede uno dei primi risultati in un articolo di Eulero del 1736 sui Sette ponti di Königsberg e, successivamente, riceve i contributi di Poincaré, Fréchet e Hausdorff, ma solo nel 1922 Kuratovskij fornì il concetto di spazio topologico. La topologia è una delle più importanti branche della matematica moderna e consiste nello studio delle proprietà delle figure che non cambiano quando viene effettuata una deformazione senza “strappi”, “sovrapposizioni” o “incollature” (un buon esempio di applicazione della topologia è rappresentato dal cartone animato Barbapapà: questi pupazzi si trasformano in un sacco di oggetti di uso comune, senza rompersi). I bambini sono abili nel creare oggetti topologicamente equivalenti, visto il loro amore per la plastilina: possono quindi trasformare un cubo in una sfera o viceversa, semplicemente deformandoli.

Lo studio di Kedia ha creato un collegamento fra due ambiti molto diversi, affiancando le equazioni di Maxwell ai nodi topologici: in topologia per nodo si intende una curva semplice chiusa nello spazio tridimensionale, come una corda molto fine i cui estremi vengono collegati in modo da ottenere figure intrecciate. Secondo i calcoli effettuati al computer da Kedia e dai suoi colleghi, le equazioni di Maxwell sono soddisfatte da alcune strutture di luce, che rientrano in due categorie topologiche, ovvero i nodi torici e il link: i nodi torici sono nodi contenuti nella superficie di un toro (il toro può essere visualizzato come una ciambella), mentre un esempio di link è dato dai cinque anelli simbolo delle olimpiadi, in quanto un link è un insieme di diversi nodi variamente intrecciati.

Forse è un po’ presto per realizzare delle applicazioni per questi risultati teorici, ma sono già state formulate delle ipotesi. Un’applicazione potrebbe essere nelle tecniche di intrappolamento degli atomi ultrafreddi: si tratta di una delle tecniche utilizzate attualmente per investigare le proprietà della materia e consiste nel raffreddare e successivamente intrappolare un campione di atomi a temperature prossime allo zero assoluto, utilizzando fasci laser che diminuiscono la velocità degli atomi di alcuni elementi allo stato di vapore, purché si trovino confinati in uno spazio limitato. Per la teoria cinetica dei gas, diminuzione di velocità significa diminuzione della temperatura e, con l’aggiunta di un campo magnetico, gli atomi raffreddati possono essere intrappolati in un volume di pochi millimetri cubi.

La seconda applicazione riguarda lo studio di sistemi fisici complessi come i plasmi: il plasma, che rappresenta il quarto stato fisico della materia (insieme a solido, liquido e aeriforme) è un gas ionizzato, costituito da un insieme di elettroni e ioni e globalmente neutro. Fu identificato nel 1879 da sir William Crookes, che realizzò i tubi di Crookes, antenati dei tubi catodici e delle lampade al neon. Attualmente, la fisica del plasma è un settore in piena espansione, non solo in ambito nucleare, ma anche per applicazioni industriali e per la propulsione spaziale.

In altre parole, se si riuscisse a trovare un’applicazione dello studio di Kedia, oltre a essere un grande risultato dal punto di vista matematico per i collegamenti creati tra elettromagnetismo e topologia, porterebbe anche a una notevole evoluzione in campi tecnici importanti e attualmente in espansione. Daniela Molinari

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