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La definizione è matematica, ma scavando in profondità c'è molto di più: se pensiamo all'arte, ad esempio, non possono non venirci in mente le tassellazioni di Escher. Conquistate dai colori e dalla prospettiva di spaziare anche oltre la matematica, abbiamo deciso di proporre alcuni laboratori al riguardo nell'ambito del Festival BergamoScienza. Nelle prime due settimane di ottobre, dal 2003 il Festival si svolge a Bergamo e provincia e ha come obiettivo la divulgazione scientifica: oltre a numerose conferenze con ospiti illustri, la manifestazione vede la partecipazione delle scuole della provincia, che propongono laboratori e mostre, ideate da docenti e ragazzi, ma animate soprattutto dai ragazzi, veri protagonisti dell'evento.
Abbiamo sviluppato il tema muovendoci attorno a tre ambiti principali: la realizzazione pratica di tassellazioni, la matematica che permette di realizzarle e la ricerca delle tassellazioni nell'arte, nella natura, nella storia. La realizzazione pratica delle tassellazioni è stato sicuramente il laboratorio più impegnativo, ma anche quello più interessante: a disposizione dei visitatori decine di tessere di varie forme e colori, dai triangoli equilateri agli ottagoni regolari, per riflettere su quali siano i poligoni regolari con i quali è possibile ricoprire il piano. Anche i bambini più piccoli hanno potuto verificare praticamente che con i pentagoni non è possibile tassellare il piano e che gli ottagoni da soli lasciano degli spazi vuoti. Ai più grandi, sono state fornite tessere irregolari per realizzare tassellazioni non periodiche: rombi grassi e rombi magri, frecce e aquiloni. La seconda parte era lasciata alla riflessione sull'argomento: perché alcuni poligoni tassellano e altri no? Ragionando con tessere sulle quali erano indicati i gradi degli angoli interni, tutti hanno potuto capire il "trucco". Il laboratorio non aveva come obiettivo solo la ricomposizione delle tassellazioni, ma anche la creazione di nuove tessere: docenti e studenti si sono cimentati nell'ideazione e hanno ottenuto risultati molto simili a quelli di Escher (che è stato una vera fonte di ispirazione!). Ai bambini partecipanti al laboratorio si sono offerte tessere di cartoncino di forma quadrata, triangolare o esagonale e, da questi poligoni regolari, sono state costruite tessere più elaborate: anatre, cavalli, passerotti, stelle, girandole… senza alcun limite alla fantasia. Questo laboratorio pratico è stato realizzato anche a computer, grazie al software Geogebra: a partire da quadrati, triangoli e esagoni, con alcuni semplici passaggi che richiamavano i taglia/incolla realizzati con forbici, colla e tessere di cartoncino, attraverso rotazioni e traslazioni, ogni partecipante ha potuto, con poche semplici mosse, realizzare colorate tassellazioni.
Il laboratorio dedicato alla matematica è stato una vera sfida: solo sentendo il titolo, Math-Land, i visitatori - soprattutto gli adulti - mostravano grande disagio e tentavano la fuga: in più occasioni, gli animatori hanno dovuto convincere i partecipanti che non c'era nulla di cui avere paura. Il risultato è stato al di sopra delle nostre aspettative: diviso in due parti, una dedicata ai bambini della scuola primaria e l'altra rivolta ai ragazzi della scuola secondaria e agli adulti, è stato fonte di divertimento impegnato per tutti i partecipanti. Ai bambini abbiamo offerto matite colorate e tassellazioni da colorare usando il minor numero di colori possibile, ma facendo comunque in modo che lo stesso colore non fosse su due tasselli adiacenti. La sfida del colore è stata raccolta da tutti con entusiasmo ed è stato interessante fare un gioco di gruppo per colorare la cartina dell'Italia, applicando il teorema dei quattro colori: provate a colorare le varie regioni con solo tre colori! Per i ragazzi più grandi, un percorso più impegnativo: abbiamo offerto diversi rettangoli e invitato i partecipanti a riconoscere tra di essi il rettangolo aureo. Il secondo passo era la realizzazione di un triangolo isoscele aureo e, da questo, la costruzione di un pentagono regolare. Nel pentagono regolare abbiamo chiesto di individuare frecce e aquiloni della tassellazione non periodica di Penrose e poi il rapporto aureo, tornando al punto di partenza.m
Alla mostra abbiamo dato nome NaSA-Land, dove Na.S.A. è in realtà l'acronimo che sta per Natura, Storia e Arte: le tassellazioni sono presenti davvero ovunque. Non sorprende il riferimento a Escher, maestro delle tassellazioni, ma pochi sono a conoscenza della sua amicizia con il matematico Penrose e pochi sanno che la riflessione di Escher sull'argomento è nata dopo una visita all'Alhambra di Granada, il rinomato complesso palaziale. Opus reticulatum e opus spicatum degli Antichi Romani aprono la strada alle tassellazioni nell'architettura, mentre tra i manufatti troviamo le ceramiche Azulejos di Lisbona e in pittura le tassellazioni non sono solo uno sfondo originale, ma anche un modo per dare la profondità e per realizzare la prospettiva, come nella Trinità di Masaccio. La natura offre forse le tassellazioni più curiose: le squame di un comune pesce rosso realizzano un ricoprimento del corpo del pesce, mentre il carapace della tartaruga è costituito da placche ossee distinte che hanno la funzione di proteggere l'animale. L'esempio più interessante e curioso è però quello dato dal Giant's Causeway, il Selciato del Gigante, in Irlanda: è composto da circa 40.000 colonne rocciose di origine vulcanica e, visto dall'alto, sembra una tassellazione realizzata davvero da un gigante.
Le tassellazioni sono state un modo originale per coinvolgere i ragazzi: all'interno del nostro istituto, il Liceo "Decio Celeri", è presente anche un liceo artistico e per i ragazzi di questo indirizzo l'incontro con le tassellazioni, già realizzato nel percorso curricolare, è stato un'occasione per vedere la matematica nascosta nella realtà e per riscoprirsi un po' più appassionati.
Daniela Molinari
info@amolamatematica.it
LA TASSELLATURA DEL PIANO
DI CARLO SINTINI
Questo articolo è stato liberamente tratto, ed illustrato, da un vecchio intervento di Martin Gardner
risalente a circa 35 anni fa, sulle pagine di Scientific American.
Viene presa in esame la possibilità di saturare il piano, cioè ricoprirlo senza lasciare spazi vuoti o
sovrapposizioni, usando dei poligoni. Ma si badi bene, poligoni tutti dello stesso tipo, altrimenti il
problema offre infinite soluzioni, e diviene banale .
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Iniziamo dai poligoni regolari, cioè poligoni convessi e con lati ed angoli interni uguali fra loro. Già
nell’antica Grecia si sapeva che solo tre di essi possono ricoprire il piano: il triangolo , il quadrato e
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l’esagono.
E’ impossibile ricoprire il piano usando poligoni regolari con un numero maggiore di lati. Basti pensare
che accostando i loro vertici non è possibile ottenere i 360° di un angolo giro. Cominciamo a prendere
in considerazione i poligoni regolari.
POLIGONI REGOLARI
I triangoli equilateri possono essere disposti su file, come in figura, che possono slittare una rispetto
all’altra in infiniti modi.
Anche con i quadrati avviene la stessa cosa.
La tassellatura con gli esagoni regolari, così familiare alle api, può invece essere realizzata in un solo
modo.
Se eliminiamo la restrizione che la tassellatura debba essere ottenuta con un poligono regolare il
problema diventa più interessante.
Basti pensare alla grande varietà di pavimentazioni che capita spesso di osservare dappertutto.
1 Ovviamente il triangolo equilatero, perché è l’unico ad essere regolare.
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I POLIGONI GENERICI
Si può dimostrare, usando la famosa formula di Eulero relativa ai poligoni: v - s + f = 1 (dove le lettere
indicano rispettivamente il numero dei vertici, degli spigoli e delle facce) e alcuni concetti elementari
di analisi diofantea, che con nessun poligono generico (e quindi anche nessun poligono regolare)
convesso avente più di sei lati è possibile saturare il piano.
Possiamo limitare quindi il nostro studio solo ai poligoni con tre, quattro, cinque e sei lati.
TRIANGOLO GENERICO
Il caso del triangolo generico è facile. Ogni triangolo satura il piano, infatti basta ruotare il triangolo di
180° e congiungere poi il triangolo iniziale e quello ruotato in modo che combacino due lati
corrispondenti, per ottenere un parallelogramma. Disponendo i parallelogrammi uno di fianco all'altro
si otterrà una striscia infinita coi lati paralleli, e collocando queste strisce una di fianco all'altra si
satura il piano. La disposizione non è unica perché in genere si possono formare tre parallelogrammi
diversi e le "strisce" possono essere fatte scorrere le une rispetto alle altre.
QUADRILATERO CONVESSO
Per quello convesso come prima basta accostare fra loro due quadrilateri identici, uno dei quali sia
ruotato di 180° rispetto all'altro, ed accostarli lungo due qualsiasi lati corrispondenti. Il risultato e' un
esagono (non regolare ma con i lati opposti sempre uguali e paralleli) che permette la formazione di
una striscia sulla quale può essere accostata una seconda striscia, e così via.
QUADRILATERO CONCAVO
Per il quadrilatero concavo è ancora valido lo stesso procedimento e restano uguali anche le
considerazioni finali. Quindi ogni quadrilatero satura il piano, cioè lo può ricoprire perfettamente
senza lasciare spazi vuoti e senza sovrapposizioni. 2
PENTAGONO CONVESSO GENERICO
Esistono otto tipi di pentagoni convessi capaci di saturare il piano.
Un pentagono convesso satura il piano se e solo se appartiene a uno o più dei tipi seguenti:
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Gli ultimi due tipi richiedono anche una riflessione. Si osservi che gli schemi sono stati disegnati
utilizzando poligoni il più possibile irregolari, entro i limiti del tipo rispettivo, per mettere in luce la
natura caratteristica della tassellatura.
Notiamo che il pentagono equilatero (cioè quello con tutti e cinque i lati uguali, ma non con gli angoli
interni uguali! Cioè non un pentagono equilatero !), appartiene sempre al TIPO 1.
ESAGONO CONVESSO GENERICO
Il caso dell'esagono fu risolto nel 1918 da K. Reinhardt nella sua tesi di dottorato presentata
all'Università di Francoforte. Egli dimostrò che gli esagoni convessi capaci di saturare il piano si
dividono in tre tipi:
Si osservi che il tipo 2, quando è asimmetrico, richiede anche una riflessione.
Un esagono convesso saturerà il piano se e solo se appartiene a uno dei tre tipi precedenti.
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I POLIMINI
Si ottengono i polimini accostando fra loro dei quadrati in tutti i modi possibili.
Il monomino (è un quadrato singolo), il domino (due quadrati affiancati), e costituiscono un caso
banale perché ricoprono il piano in modo ovvio.
Sono poi due possibili tipi di tromino (poligoni formati da tre quadrati affiancati, vedi sotto) ed
anch’essi saturano il piano in modo ovvio.
I tetramini sono invece cinque
E ciascuno di essi satura il piano senza bisogno di rotazioni o riflessioni.
Diverso è invece il discorso per i pentamini: sono dodici e solo alcuni di essi saturano il piano senza
riflessioni
I tre colorati in celeste (che data la forma, chiameremo F, T ed U) saturano il piano, ma con alcune
condizioni (vedi sotto).
Ciascuno di essi, preso in coppia con uno uguale e capovolto, può formare un polimino di ordine 10,
che satura il piano per traslazione.
Gli esamini invece sono 35 e ognuno satura il piano senza bisogno di riflessione. Alcuni richiedono
solo la traslazione, altri vengono riuniti a coppie contrapposte come i pentamini e quindi collegate in
modo da formare un polimino di ordine 12 che satura per traslazione.
Nella figura seguente sono elencati tutti e 35. Sono segnati in rosso quelli che possono ricoprire un
cubo (in altre parole che sono lo sviluppo di un cubo), ed in celeste gli altri.
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In realtà anche l’undicesimo potrebbe ricoprire il cubo, ma sarebbe necessario fare un taglio.
Gli eptamini possibili sono invece 108. Anche questi non li mostreremo, ma esiste un criterio (detto di
Conway), che permette di stabilire se un poligono (di n lati ) permette di saturare il piano senza
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riflessioni. Solo quattro eptamini non permettono la tassellazione.
Gli ottomini possibili sono 369. Di essi solo 26 non saturano il piano, e sono elencati qui sotto.
Sei di essi possono essere scartati senza difficoltà perché hanno un buco che è impossibile colmare.
Terminiamo la nostra analisi con gli ottomini perché il numero delle figure possibili aumenta
vertiginosamente senza offrire in cambio vantaggi positivi.
Vediamo ora in cosa consiste il criterio di Conway che permette di stabilire se il polimino può saturare
il piano (senza riflessioni) o no.
Quindi anche gli eptamini e gli ottomini.
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IL CRITERIO DI CONWAY
Dato un poligono arbitrario, ne esaminiamo il perimetro per vedere se sia possibile dividerlo in sei
parti, denominate a, b, c, d, e ed f (delimitate dai tondini), in modo che siano soddisfatte le condizioni
seguenti:
1) Due lati opposti a e d devono essere "paralleli" nel senso che sono congruenti e hanno lo stesso
orientamento.
2) Gli altri lati b, c, e ed f devono essere a simmetria centrale nel senso che una rotazione di 180°
gradi attorno al loro punto medio li trasforma in se stessi.
Se il poligono soddisfa a queste condizioni saturerà il piano in modo periodico, senza bisogno di
riflessioni.
E' una condizione sufficiente ma non necessaria. Cioè se è soddisfatto il criterio di Conway, la
saturazione è certamente possibile, mentre può accadere che sia possibile la saturazione anche se il
criterio non è soddisfatto.
Per esempio con i 108 eptamini possibili si può provare che 101 rispettano il principio di Conway,
mentre sette (elencati qui sotto) non lo soddisfano.
Però il secondo, il quarto e il quinto eptamino permettono la tassellazione del piano malgrado non
soddisfino il criterio di Conway. mentre il primo, il terzo, il sesto e il settimo non permettono
assolutamente la tassellazione (il primo poi è ovvio che non possa saturare il piano dato che contiene
un buco che è impossibile riempire).
Quindi gli eptamini che non saturano sono in totale quattro.
Il secondo eptamino satura applicando una riflessione, ed è l'unico dei 108 a richiedere
necessariamente una riflessione. 7
Il quarto eptamino satura il piano disponendosi a coppie di elementi ruotati di 90 gradi.
Il quinto eptamino, che secondo Conway è il più interessante, satura il piano in due modi:
disponendosi a coppie di cui un elemento è riflesso e ruotato di 90 gradi, e disponendosi a quadruple,
senza riflessione, dove lo stesso elemento viene disposto nei quattro orientamenti possibili.
I POLIMONDI
Tra le infinite tassellature del piano che si possono ottenere con poligoni congruenti (cioè
sovrapponibili) e non convessi, oltre ai polimini sono interessanti anche quelle ottenibili con i
polimondi.
Mentre i polimini si ottengono unendo in tutti i modi possibili dei quadrati, i poliexi unendo fra loro
degli esagoni regolari, i polimondi si ottengono combinando dei triangoli equilateri.
Usando il criterio di Conway non è difficile stabilire che tutti i polimondi fino a quelli formati con sei
triangoli equilateri (esamondi), soddisfano il criterio e quindi saturano il piano.
Esaminiamo allora i polimondi di ordine superiore al sesto.
Dei 24 eptamondi possibili, solo quello a forma di V non satura.
Tutti gli ottomondi saturano.
Gli ennamondi (enna = 9) sono in tutto 160. 8
Sono 21 quelli che non saturano (e sono indicati qui sopra).
I POLIEXI
Tra le infinite tassellature del piano che si possono ottenere con poligoni congruenti (cioè
sovrapponibili) non convessi, oltre ai polimini e ai polimondi sono interessanti anche quelle ottenibili
con i poliexi.
Mentre i polimini si ottengono unendo in tutti i modi possibili dei quadrati, i polimondi combinando
dei triangoli equilateri, i poliexi si ottengono combinando degli esagoni regolari.
Tutti i poliexi fino all'ordine 5 saturano il piano. Per i poliexi di ordine 6 ?
Degli 83 esaexi possibili, ve ne sono solo 5 che non saturano. E sono quelli indicati qui sotto
E fermiamoci qui perché il discorso si fa presto troppo complicato.
TASSELLATURE APERIODICHE
Diremo che una tassellatura e' non periodica (o aperiodica) quando e' impossibile combinare un certo
numero di poligoni uguali in modo che formino una struttura che poi possa ricoprire il piano
accostando fra loro molte di tali strutture.
Un primo caso interessante si verifica quando questa struttura ha una forma identica a quella del
poligono iniziale.
Un buon esempio di questo tipo di tassellatura e' costituito dalla "sfinge". Quattro poligoni formano
una struttura identica al poligono iniziale che si può replicare all'infinito fornendo una sfinge sempre
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più grande, ed è facile constatare che non esiste alcuna periodicità.
Golomb, un matematico, chiama rep-tile un pezzo (tile in inglese) con questa proprietà di
autoreplicazione: cioè un pezzo che ha la possibilità di autoreplicarsi.
Un altro studioso dell'argomento, R.M. Robinson, ha elaborato sei tessere, ciascuna delle quali
permette la realizzazione di una tassellatura non periodica (di tipo diverso dalla precedente, in cui
sono ammesse anche la rotazione e la riflessione).
Una scacchiera poi, si può facilmente trasformare in una tassellatura non periodica: basta bisecare ogni
casella, e cambiare l'orientamento delle bisezioni per evitare la periodicità.
I triangoli isosceli possono dar luogo anche a tassellature non periodiche radiali. Sebbene la
tassellatura sia altamente ordinata, è ovviamente non periodica.
Tale tassellatura, si può tagliare a metà e poi si possono spostare di un passo o più i due semipiani in
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modo da ottenere una forma a spirale di tassellatura non periodica.
Il triangolo isoscele si può distorcere in infiniti modi, sostituendo i suoi lati uguali con linee congruenti
(cioè identiche, sovrapponibili), non necessariamente rettilinee.
Se i nuovi lati sono rettilinei, il risultato è un poligono di 5, 7, 9, 11 ... lati che dà luogo a una
tassellatura a spirale.
Ecco una singolare struttura ottenuta in questo modo dal poligono precedente con nove lati.
