Matematica e tassellazioni

Si dicono tassellazioni i modi di ricoprire il piano, con figure geometriche o disegni, in modo che si ripetano all’infinito senza sovrapposizioni.

La definizione è matematica, ma scavando in profondità c’è molto di più: se pensiamo all’arte, ad esempio, non possono non venirci in mente le tassellazioni di Escher. Conquistate dai colori e dalla prospettiva di spaziare anche oltre la matematica, abbiamo deciso di proporre alcuni laboratori al riguardo nell’ambito del Festival BergamoScienza. Nelle prime due settimane di ottobre, dal 2003 il Festival si svolge a Bergamo e provincia e ha come obiettivo la divulgazione scientifica: oltre a numerose conferenze con ospiti illustri, la manifestazione vede la partecipazione delle scuole della provincia, che propongono laboratori e mostre, ideate da docenti e ragazzi, ma animate soprattutto dai ragazzi, veri protagonisti dell’evento.

Abbiamo sviluppato il tema muovendoci attorno a tre ambiti principali: la realizzazione pratica di tassellazioni, la matematica che permette di realizzarle e la ricerca delle tassellazioni nell’arte, nella natura, nella storia. La realizzazione pratica delle tassellazioni è stato sicuramente il laboratorio più impegnativo, ma anche quello più interessante: a disposizione dei visitatori decine di tessere di varie forme e colori, dai triangoli equilateri agli ottagoni regolari, per riflettere su quali siano i poligoni regolari con i quali è possibile ricoprire il piano. Anche i bambini più piccoli hanno potuto verificare praticamente che con i pentagoni non è possibile tassellare il piano e che gli ottagoni da soli lasciano degli spazi vuoti. Ai più grandi, sono state fornite tessere irregolari per realizzare tassellazioni non periodiche: rombi grassi e rombi magri, frecce e aquiloni. La seconda parte era lasciata alla riflessione sull’argomento: perché alcuni poligoni tassellano e altri no? Ragionando con tessere sulle quali erano indicati i gradi degli angoli interni, tutti hanno potuto capire il “trucco”. Il laboratorio non aveva come obiettivo solo la ricomposizione delle tassellazioni, ma anche la creazione di nuove tessere: docenti e studenti si sono cimentati nell’ideazione e hanno ottenuto risultati molto simili a quelli di Escher (che è stato una vera fonte di ispirazione!). Ai bambini partecipanti al laboratorio si sono offerte tessere di cartoncino di forma quadrata, triangolare o esagonale e, da questi poligoni regolari, sono state costruite tessere più elaborate: anatre, cavalli, passerotti, stelle, girandole… senza alcun limite alla fantasia. Questo laboratorio pratico è stato realizzato anche a computer, grazie al software Geogebra: a partire da quadrati, triangoli e esagoni, con alcuni semplici passaggi che richiamavano i taglia/incolla realizzati con forbici, colla e tessere di cartoncino, attraverso rotazioni e traslazioni, ogni partecipante ha potuto, con poche semplici mosse, realizzare colorate tassellazioni.

Il laboratorio dedicato alla matematica è stato una vera sfida: solo sentendo il titolo, Math-Land, i visitatori – soprattutto gli adulti – mostravano grande disagio e tentavano la fuga: in più occasioni, gli animatori hanno dovuto convincere i partecipanti che non c’era nulla di cui avere paura. Il risultato è stato al di sopra delle nostre aspettative: diviso in due parti, una dedicata ai bambini della scuola primaria e l’altra rivolta ai ragazzi della scuola secondaria e agli adulti, è stato fonte di divertimento impegnato per tutti i partecipanti. Ai bambini abbiamo offerto matite colorate e tassellazioni da colorare usando il minor numero di colori possibile, ma facendo comunque in modo che lo stesso colore non fosse su due tasselli adiacenti. La sfida del colore è stata raccolta da tutti con entusiasmo ed è stato interessante fare un gioco di gruppo per colorare la cartina dell’Italia, applicando il teorema dei quattro colori: provate a colorare le varie regioni con solo tre colori! Per i ragazzi più grandi, un percorso più impegnativo: abbiamo offerto diversi rettangoli e invitato i partecipanti a riconoscere tra di essi il rettangolo aureo. Il secondo passo era la realizzazione di un triangolo isoscele aureo e, da questo, la costruzione di un pentagono regolare. Nel pentagono regolare abbiamo chiesto di individuare frecce e aquiloni della tassellazione non periodica di Penrose e poi il rapporto aureo, tornando al punto di partenza.m

Mosaico di Alhambra
Mosaico di Alhambra – Fonte Wikipedia

Alla mostra abbiamo dato nome NaSA-Land, dove Na.S.A. è in realtà l’acronimo che sta per Natura, Storia e Arte: le tassellazioni sono presenti davvero ovunque. Non sorprende il riferimento a Escher, maestro delle tassellazioni, ma pochi sono a conoscenza della sua amicizia con il matematico Penrose e pochi sanno che la riflessione di Escher sull’argomento è nata dopo una visita all’Alhambra di Granada, il rinomato complesso palaziale. Opus reticulatum e opus spicatum degli Antichi Romani aprono la strada alle tassellazioni nell’architettura, mentre tra i manufatti troviamo le ceramiche Azulejos di Lisbona e in pittura le tassellazioni non sono solo uno sfondo originale, ma anche un modo per dare la profondità e per realizzare la prospettiva, come nella Trinità di Masaccio. La natura offre forse le tassellazioni più curiose: le squame di un comune pesce rosso realizzano un ricoprimento del corpo del pesce, mentre il carapace della tartaruga è costituito da placche ossee distinte che hanno la funzione di proteggere l’animale. L’esempio più interessante e curioso è però quello dato dal Giant’s Causeway, il Selciato del Gigante, in Irlanda: è composto da circa 40.000 colonne rocciose di origine vulcanica e, visto dall’alto, sembra una tassellazione realizzata davvero da un gigante.

Le tassellazioni sono state un modo originale per coinvolgere i ragazzi: all’interno del nostro istituto, il Liceo “Decio Celeri”, è presente anche un liceo artistico e per i ragazzi di questo indirizzo l’incontro con le tassellazioni, già realizzato nel percorso curricolare, è stato un’occasione per vedere la matematica nascosta nella realtà e per riscoprirsi un po’ più appassionati.

Daniela Molinari

info@amolamatematica.it

Commenti

commenti