Poincaré, Berry e i limiti delle previsioni

Poincaré fu il primo matematico a sollevare il problema sulle reali possibilità di previsione e a palesare i limiti fondamentali delle equazioni a nostra disposizione. Con l’introduzione delle così dette non linearità, cioè le leggere variazioni che in un sistema possono provocare anche enormi conseguenze, gettò le basi concettuali di ciò che successivamente prese il nome di “Teoria del caos”.

Man mano che si cerca di fare un tentativo di previsione sul futuro, c’è bisogno di una precisione crescente sulle dinamiche del processo che si sta analizzando. Il problema è che per avvicinarsi alla precisione necessaria bisognerebbe conoscere il passato di quel sistema con infinita accuratezza. Poincarè si servì di un esempio molto semplice per dimostrare quanto sia difficile raggiungere adeguati livelli di esattezza, il suo modello è noto come “problema dei tre corpi”.

Il grande matematico suggerisce di immaginare un sistema solare, costituito soltanto da due pianeti, in cui nient’altro possa in alcun modo interferire. In tali circostanze, prevedere con grande precisione il comportamento dei due pianeti, è cosa semplice. Si provi ad inserire, in questa situazione di evidente stabilità, un terzo corpo, anche molto piccolo, ad esempio una cometa. Inizialmente il terzo corpo non causerà alcuno spostamento e non avrà alcun impatto. In seguito, col passare del tempo, i suoi effetti sugli altri due corpi potrebbero diventare determinanti. Piccole differenze nella posizione di un corpo relativamente piccolo, potrebbero stravolgere il futuro di pianeti giganteschi. E’ chiaro che, aggiungendo altri corpi a quel sistema ideale, otterremmo come risultato un meccanismo molto più complesso che mette in crisi le nostre velleità previsionali. All’aumentare del numero di corpi nel sistema, diminuisce la possibilità di previsione, esattamente quello che succede nella nostra realtà che contiene molto più di tre corpi.

Un altro contributo alla tesi dell’impossibilità di previsione proviene dal matematico Michael Berry, secondo cui, se si conosce una serie di parametri riguardanti una palla ferma su un tavolo da biliardo, calcolando la resistenza del tavolo e valutando la forza dell’impatto, è abbastanza semplice prevedere che cosa succederà al primo urto con un’altra palla. Il secondo urto è già più complicato, tuttavia è possibile fare previsioni con un buon grado di certezza anche se è richiesta maggiore precisione nell’analisi dello stato iniziale ed è necessaria maggiore attenzione. Quando, dopo una serie di urti, si arriva a valutare il nono impatto, risulta addirittura necessario prendere in considerazione la forza gravitazionale di un’eventuale persona in piedi di fianco al tavolo; nei suoi calcoli, Berry utilizza un peso di poco inferiore a settanta chilogrammi. Se volessimo calcolare il cinquantaseiesimo impatto, sarebbe necessario considerare ogni singola particella elementare dell’universo! Secondo Berry, nei calcoli deve rientrare anche un eventuale elettrone posizionato ai limiti dell’universo che dista miliardi di anni luce da noi, poiché, anch’esso, esercita un effetto significativo sul risultato.

A questo punto per prevedere il movimento di una palla su un tavolo da biliardo è necessario conoscere la dinamica dell’intero universo, compreso ogni atomo. Poincaré affermò che in situazioni simili è possibile ragionare solo in modo qualitativo: alcune proprietà del sistema possono essere discusse ma non calcolate. Possiamo essere rigorosi quanto vogliamo in termini di pensiero e ragionamento, ma non possiamo usare i numeri. La complessità che emerge dalle considerazioni appena fatte mina le pretese delle equazioni deterministiche. Se quanto detto risulta vero per le scienze naturali, i cui elementi costitutivi sono corpi inanimati, allora risulterà ancor più vero negli ambiti economici e sociali, cioè laddove oggetto di studio sono gli individui con la loro emotività e la loro irrazionalità.

Può un modello matematico essere realmente predittivo nel momento in cui lo si applica alle scienze sociali?

Gli scettici, ovviamente, sostengono di no. Dal loro punto di vista, il determinismo numerico è inadeguato a modellare una realtà la cui caratteristica fondamentale è il libero arbitrio. I grandi (e a maggior ragione i piccoli…) stravolgimenti economici, politici e sociali sembrano arrivare ogni volta in maniera del tutto inaspettata e imprevista.

Il crollo dei mercati e il conseguente disorientamento, confermano in maniera inequivocabile una sola verità: eravamo impreparati! Quando si cerca di analizzare un fenomeno, nel collocare i dati a disposizione in un piano cartesiano, si punta all’individuazione di una regolarità, di un trend, che consenta di prevedere quale potrà essere il naturale evolversi della situazione. Trascurando quei pochi e isolati valori che si allontanano in modo netto dalla tendenza generale, si può arrivare a concludere che la rappresentazione grafica del fenomeno possa essere una retta, una parabola ecc.

Uno dei primi errori che si commettono in questi casi è la precipitosa propensione a giungere a delle conclusioni che, in realtà, si basano solo sull’analisi di una parte e non del tutto. In altre parole, i punti distribuiti sul piano cartesiano, per ampi tratti, potrebbero benissimo raffigurare una retta, ma se quella retta la si osserva in un’ottica più ampia potrebbe benissimo essere soltanto un segmento di una figura più complessa, quale ad esempio una parabola. Se lo spazio di osservazione non è sufficientemente esteso, si correrebbe persino il rischio di confondere un andamento cosinusoidale con una parabola avente concavità verso il basso e vertice sull’asse delle ordinate poiché, nel primo quadrante del piano, sono praticamente indistinguibili.

Inoltre, quei punti isolati, che sembrano essere soltanto delle insignificanti aberrazioni dal trend fondamentale, potrebbero essere invece le non linearità di cui parlava Poincarè e avere, alla lunga, effetti sconvolgenti.

Domenico Signorelli

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