La Crisi dei Fondamenti della Matematica, dal paradiso di Hilbert all’inferno di Gödel

thomas_dimson-nook_mathematics.jpgCon "crisi dei fondamenti della matematica" si indica l’ampio dibattito che ha coinvolto la comunità dei matematici, e dei filosofi, nel primo trentennio del XX secolo, incentrato sulla natura della matematica, cioè su quali siano, se ci sono, gli enti primitivi indimostrabili che costituiscono il punto di partenza di questa disciplina. In sintesi, ci si chiedeva qual è la risposta giusta alla domanda cos’è la matematica?

Tale dibattito fu di dimensioni così vaste che portò praticamente tutti gli uomini di scienza a pronunciarsi in proposito. Le posizioni filosofiche più innovatrici diedero vita a vere e proprie scuole matematiche, come l’Intuizionismo, il Formalismo e il Logicismo, che furono tutte in rottura con le dottrine classiche, come il Kantismo . Dalle nuove impostazioni epistemologiche derivò addirittura la nascita di nuove discipline, come la "teoria della dimostrazione" o "metamatematica", ed il consolidamen-to di quelle emergenti, come la logica matematica.

Nonostante le questioni fondazionali abbiano monopolizzato l’interesse della comunità scientifica per diversi decenni, si deve constatare che non si è mai giunti a conclusioni soddisfacenti, cioè universalmente accettate. Almeno da una cinquantina d’anni i matematici hanno quasi del tutto rinunciato a portare avanti il dibattito, o per lo meno lo considerano di interesse esclusivamente filosofico. La matematica contemporanea è sempre più prolifica di risultati tecnici, anche grazie alla recente commistione con l’informatica e al rapidissimo sviluppo del calcolo delle probabilità e della statistica, e pare ormai allontanarsi quasi del tutto dalle investigazioni epistemologiche, così che la crisi dei fondamenti può considerarsi chiusa nella pratica. Nei prossimi paragrafi cercheremo di fare un resoconto chiaro della crisi, analizzando le possibili cause, le diverse scuole di pensiero, le opere più importanti. Tutto ciò in modo abbastanza sintetico, quindi senza alcuna pretesa di completezza.

Tratto da: G. Di Saverio, Dal paradiso di Hilbert all’inferno di Gödel, Tesi di Laurea, Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali, Università degli Studi di Perugia, Perugia 2003.

Indice del saggio

Precisazione: cosa vuol dire essere platonista?

La nascita dell’analisi moderna

La scoperta delle geometrie non euclidee

La nascita della logica matematica

L’aritmetizzazione dell’analisi e la nascita della teoria degli insiemi

La logicizzazione dell’aritmetica

La formalizzazione della geometria

La crisi

Paradossi logici

Paradossi semantici

Il logicismo di Russell

L’Intuizionismo di Brouwer

Il Formalismo di Hilbert

Uno sguardo oltre

Sitografia

U. BARTOCCI, Elementi di Matematica (un libro di matematica online “kantiano”), in progress dal 2003, http://www.cartesio-episteme.net/mat/elementi.htm; Breve profilo storico della matematica, 2003-2004,
http://www.cartesio-episteme.net/mat/profilo.htm; Una breve presentazione (critica) del teorema di incompletezza di Gödel, 2005 http://www.cartesio-episteme.net/mat/teor-goed.pdf

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