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+ 2
1 x
= = =
f ( x ) tale che (
1
) (
1
) 2
Ricaviamo ora una primitiva F(x) della funzione F f
2
x
+
2
1 x 1 1
∫ ∫
= = + = − + +
F ( x ) dx 1 dx x k
2 2
x
x x
= =
Ed imponendo la condizione F (
1
) f (
1
) 2 si ha:
= − + + =
⇒
2 1 1 k k 2
+ −
2
1 x 2 x 1
= − + + =
F ( x ) x 2
Per cui x x + −
2
x 2 x 1
=
Studiamo allora la funzione F ( x ) x
( ) ( )
− ∞ ∪ +∞
,
0 0
,
Dominio : + −
2
x 2 x 1 = = − ±
⇒
Intersezione asse ascisse
: 0 x 1 2
x
Intersezione asse ordinate
: non ce ne sono
+ −
2
x 2 x 1 >
Positività : F (x ) = 0 , si studia separatamente numeratore e denominatore e poi si
x
mettono i risultati sulla stessa retta dei reali:
+ − > < − − > − +
⇒
2
x 2 x 1 0 x 1 2 , x 1 2
>
x 0 + −
2
x 2 x 1 > − − < < > − +
⇒
che messe assieme forniscono F (x ) = 0 1 2 x 0
, x 1 2
x
− −
1 1
= = = −∞ = = +∞
Asintoti verticali : x 0
, lim F ( x ) , lim F ( x )
+ −
+ −
→ →
0 0
x x
0 0 = +∞ = −∞
Asintoti orizzontali : non ce ne sono perché lim F ( x ) , lim F ( x )
→ +∞ → −∞
x x
= +
Asintoti obliqui : hanno equazione y mx q
+ −
2
F ( x ) x 2 x 1
= = =
m lim lim 1
2
→ ±∞ → ±∞
x x
x x −
+ −
2
[ ] x 2 x 1 2 x 1
=
= − = − =
q lim F ( x ) x lim x lim 2
→ ±∞ → ±∞ → ±∞
x x
x x x
= +
Per cui l’asintoto obliquo doppio è y x 2
Crescenza e decrescenza :
( )
( )
+ − + − +
2 2 ( ) ( )
2 x 2 x x 2 x 1 x 1
= = > − ∞ ∪ +∞
⇒
I
y ( x ) 0 , 0 0
,
2 2
x x
2
= −
II
y ( x ) 3
x
Per cui in tal caso la funzione è sempre crescente, non presenta estremanti né flessi.
Il grafico è sotto presentato:
Per il calcolo dei punti in comune va risolta l’equazione:
+ + −
2 2
x x x
1 2 1
= + = + −
⇒ ⇒
2 3 2
x x x x
1 2
2 x
x ( ) ( )
+ − − = − + = = ±
⇒ ⇒
2
3 2
x x x x x x
1 0 1 1 0 1
= = −
Quindi i punti in comune sono A (
1
, 2 ), B ( 1
, 2 )
La tangente in A ha equazione: − = −
y 2 m ( x 1
)
A
2
= = − = −
I
m f (
1
) 2
A 3
x =
1
x
= − +
Per cui la tangente in A ha equazione : y 2 x 4
La tangente in B ha equazione: − = +
y 2 m ( x 1
)
B
2
= − = − =
I
m f ( 1
) 2
B 3
x = − 1
x
= +
Per cui la tangente in A ha equazione : y 2 x 4
Rappresentiamo su un unico grafico le due curve con le due tangenti:
