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3° Problema maturità PNI 1989 - 1990 sessione ordinaria Soluzione a cura di Nicola De Rosa
−
( ) 1 x
=
f x
Si studi la funzione −
2
x x
3
e si dica se per essa è valido il teorema della media integrale nell’intervallo [1; 2],
giustificando l’affermazione. In caso di risposta affermativa si determini internamente a detto
intervallo il valore c della variabile indipendente di cui il teorema stesso assicura l’esistenza
quando la funzione è continua.
Risoluzione −
( ) 1 x
=
Studiamo la funzione f x −
2 3
x x
{ }
R / 0
,
3
: ;
Dominio −
( ) ( )
1 x
= = ⇒ ;
:
Intersezione asse delle ascisse 0 1
,
0
f x A
−
2 3
x x
: non ve ne sono;
Intersezioni asse delle ordinate
: non è una funzione nè pari nè dispari;
Eventuali simmetrie −
( ) 1 x
= >
: 0 la studiamo, risolvendo separatamente numeratore e
Positività f x −
2 3
x x
denominatore:
( ) ( )
= − > ⇒ <
N x x x
1 0 1 ( ) N x
⇒ = > ⇒ < ∨ < < ;
f x x x
0 0 1 3
( )
( ) = − > ⇒ < ∨ >
2 D x
D x x x x x
3 0 0 3
:
Asintoti verticali
− −
1 x 1 x
= = ∞
∓
lim lim ( )
−
−
2
± ±
→ → x x 3
x 3 x
x 0 x 0 ⇒ = =
x 0
, x 3 sono asintoti verticali;
− −
1 x 1 x
= = ∞
∓
lim lim ( )
−
−
2
± ±
→ → x x 3
x 3 x
x 3 x 3 − x
1 =
= y 0 è asintoto orizzontale;
Asintoti orizzontali: lim 0 per cui
−
2
→ ±∞ x x
3
x
Asintoti obliqui: la presenza dell’asintoto orizzontale esclude la presenza di quello
obliquo trattandosi di una funzione razionale fratta;
Crescenza e decrescenza: la derivata prima è
( ) ( )
( )( )
− − − − − − +
2
2
( ) { }
x 3 x 1 x 2 x 3 x 2 x 3
= = > ∀ ∈ quindi la funzione è
f ' x 0 x R / 0
,
3
( ) ( )
2
2
− −
2
2
x 3 x x 3 x
strettamente crescente in tutto il dominio. ( )
− + − +
3 2
( ) x x x
2 3 9 9
=
Concavità e convessità: la derivata seconda è . La
f x
' ' ( )
3
−
2
x x
3
funzione presenta eventuali flessi a tangente obliqua nelle ascisse dei punti che
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( ) = − + − +
3 2
annullano il numeratore N x x 3 x 9 x 9 della derivata seconda Il numeratore
.
( ) = − + − +
3 2
N x x 3 x 9 x 9 non è scomponibile per cui per controllare la presenza o
( ) = − + − +
3 2
meno di flessi dobbiamo studiare la cubica N x x 3 x 9 x 9 . Innanzitutto
( )
( ) = − + − + = ∞
∓
3 2 e la derivata prima è
lim N x lim x 3 x 9 x 9
→ ±∞ → ±∞
x x
( )
( ) = − − + < ⇒ ∀ ∈
2
N ' x 3 x 2 x 3 0 x R quindi la cubica è strettamente decrescente in
tutto R. Quindi per il primo teorema degli zeri esiste un unico zero della funzione
( ) ( ) ( ) ( )
= − + − + − ∞ +∞ = > = − <
3 2
N x x 3 x 9 x 9 in . In realtà poiché
, N 1 2 0
, N 2 5 0
( )
α ∈ 1
, 2
allora possiamo concludere che lo zero cercato . Troviamolo mediante il
=
metodo delle tangenti con punto iniziale 2
x tramite formula di ricorrenza
0
( )
f x −
= − 2
n con un errore inferiore a 10 . Sviluppando il metodo si ha:
x x ( )
+
1
n n f x
' n
=
x 2 ;
1. 0 ( ) ⎡ ⎤
− + − +
3 2
f x x x x
3 9 9 13
= − = − =
0 ⎢ ⎥
2. x x 2
( ) − + −
1 0 2
⎣ ⎦
f x
' 9
x x
3 6 9 =
0 x x 0
( ) ⎡ ⎤
− + − +
3 2
f x 13 3 9 9 3196
x x x
= − = − = ≈
1 ⎢ ⎥ 1
.
330
x x
3. ( ) − + −
2 1 2
⎣ ⎦
' 9 2403
f x 3 6 9
x x =
1 x x
1
( ) ⎡ ⎤
− + − +
3 2
f x 3 9 9
x x x
= − = − ≈
2 ⎢ ⎥
1
.
330 1
.
327
x x
4. ( ) − + −
3 2 2
⎣ ⎦
'
f x 3 6 9
x x =
2 x x 2
1 α
− ≈ < ≅
0
.
003
Poiché x x allora è lo zero trovato. Quindi la funzione
1 . 327
3 2 100 α ≅
presenta un unico flesso a tangente obliqua all’ascissa . Di seguito il grafico
1 . 327
( ) = − + − +
3 2
N x x 3 x 9 x 9 .
della cubica 3 2
- + - +
x 3 x 9 x 9
40
30
20
10 x
- -
2 1 1.327 2
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( ) α
= − + − + > ⇒ <
3 2
N x x 3 x 9 x 9 0 x .
Il grafico soprastante mostra che −
( ) 1 x
= presenta concavità verso l’alto negli intervalli
Quindi la funzione f x −
2
x x
3
( ) ( ) ( ) ( )
α α
− ∞ ∪ ∪ +∞
e concavità verso il basso in .
, 0 ,
3 0
, 3
,
Il grafico è presentato di seguito:
−
( ) 1 x
=
f x è continua nell’intervallo [1,2] e per cui in esso è applicabile il teorema
La funzione −
2 3
x x
della media integrale. Data una funzione continua in [a,b], per il teorema della media integrale
− ⎞
⎛
2
b
[ ] ( )
( ) ( ) 1 x
1 ∫
∫ =
∃ ∈ = ⎟
⎜
; nel caso in esame dx
f c . Innanzitutto
c a b f c f x dx
, tale che − − ⎠
⎝ 2
b a 3
x x
1
a ( )
− + −
−
A B
x 1 x A B x 3 A
1 = + =
da cui
scomponiamo l’integrando nel modo seguente −
− −
−
2 2 2
x x 3 3 3
x x x x x x
3 ⎧ 1
= −
A
⎪
+ = −
⎧ ⎪
A B 1 3
⇒
⎨ ⎨ per cui
e per il principio di identità dei polinomi si ha − =
⎩ 3 A 1 2
⎪ = −
B
⎪
⎩ 3
−
1 1 2
x = − − . Quindi
( )
−
−
2 3 3 3
x x
3
x x
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