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L’area è sempre un valore positivo per cui per prendere in considerazione ambo i casi,
> <
1
) a 0
, 2
) a 0 in cui le aree sono uguali ed opposte come segno, allora nel calcolo metteremo un
valore assoluto, cioè:
− − −
a 2 a 1
2 1 2 a 1
( )
[ ] [ ] −
a a 3 2
( ) ( ) ( ) ( ) 2 1
ax x a a
∫ ∫
= = − − − = − − = − =
2 2
A f a a x 1 a x dx ax x 2 a 1 dx
3 2
0 0 0
( ) ( ) ( )
− − −
3 3 3
2 a 1 2 a 1 2 a 1
− =
2 2 2
3
a 2 a 6 a ( )
− 3
2 a 1
=
Per studiare la funzione area studieremo dapprima la funzione y e poi applicheremo il
2
6 a
valore assoluto al grafico ricavato lasciando inalterate le parti positive e ribaltando quelle negative.
( )
− 3
2 a 1
=
y
Studio di 2
6 a ( ) ( )
≠ ⇔ ∈ − ∞ ∪ +∞
a 0 a ,
0 0
,
Dominio:
1
Intersezione asse x: , 0
2
Intersezione asse y: non ce ne sono
( ) ( )
− − − −
3 3
2 a 1 1 2 a 1 1
= = = −∞ = = −∞
Asintoti verticali: a 0
, lim , lim
2 2
+ −
→ →
0 0
6 a 6 a
a 0 a 0
( ) ( )
− −
3 3
2 a 1 2 a 1
= +∞ = −∞
lim , lim
Asintoti orizzontali: non ce ne sono poiché 2 2
→ +∞ → −∞
6 a 6 a
a a
Asintoti obliqui: ( )
− 3
a
2 1 ( )
− 3
a
2 1 4
2
6 a
= + = = =
y ma q m
, lim lim ,
3
→ ±∞ → ±∞
a 3
a
6
a a
( )
− − +
3 2
a a a
2 1 4 12 6
= − = = −
q a
lim lim 2
2 2
→ ±∞ → ±∞
3
a a
6 6
a a 4
= −
Per cui l’asintoto obliquo è y a 2
3
Crescenza e decrescenza:
( )( ) ( ) ( ) ( )
+ − − + +
2 2
( ) ( )
a 1 2 a 1 2 a 1 a 1 a 1 1 1
= = > > − ∞ − ∪ ∪ +∞
⇒ ⇒
I
y a 0 0 , 1 0
, ,
3 2
a a 2 2
3
a 3
a
( )
−
( ) 2 a 1
=
II
y a 4
a
( )
−
( ) 2 2 3
a
=
III
y a 5
a
Ora:
( ) 9
− = − < − −
⇒
II un massimo
y 1 3 0 1
,
2
1 1 1
= = > ⇒
II III è un flesso
y 0
, y 32 0 , 0
2 2 2
Ora possiamo rappresentare il grafico:
Come già detto in precedenza ora il grafico di ( )
− 3
( ) 2 a 1
= =
A f a 2
6 a
Lo si rappresenta a partire dal precedente ribaltando le parti negative e lasciando inalterate quelle
positive:
