1994 - Liceo scientifico di ordinamento - problema 1 sessione suppletiva

SESSIONE SUPPLETIVA 1993/1994:LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

SOLUZIONE DI DE ROSA NICOLA

1)Le curve proposte sono al variare del parametro a delle classiche funzioni omografiche.

> <

Cerchiamo di studiare il fascio separando i due casi, a 0 ed a 0 :

>

Caso 1: a 0

≠

Dominio: x a / 2 = = −∞ = +∞

x a f x f x

Asintoti verticali: / 2

, lim ( ) , lim ( )

+ −

a a

→ →

x x

2 2

= =

y 1 / 2

, lim f ( x ) 1 / 2

Asintoti orizzontali: → ±∞

x

> → < ∪ >

Positività: y 0 x a / 2 x a

Il grafico è sotto rappresentato:

<

Caso a 0 :

≠

Dominio: x a / 2 = = +∞ = −∞

Asintoti verticali: x a / 2

, lim f ( x ) , lim f ( x )

+ −

a a

→ →

x x

2 2

= =

Asintoti orizzontali: y 1 / 2

, lim f ( x ) 1 / 2

→ ±∞

x

> → > ∪ <

Positività: y 0 x a / 2 x a

Il grafico è sotto rappresentato:

A questo punto possiamo ricavare l’unico punto in comune dalla famiglia di curve.

Riscriviamo la curva in questo modo:

−

x a

= → − − − = → − − − =

y y ( 2 x a ) ( x a ) 0 ( 2 xy x ) a ( y 1

) 0

−

2 x a = − = −

y 2 xy x , y y 1

Cioè la curva è combinazione lineare di due curve: per cui il punto base del

1 2

fascio di curve lo si ottiene dall’intersezione delle due curve, cioè:

− =

 2 xy x 0

 =



 x 0

⇒

  =

 y 1



 − =

 y 1 0

≡

Per cui il punto base è A (0,1)

2) = +

y x

La retta passante per A e di coefficiente angolare 3 ha equazione 3 1

Calcoliamo ora i punti di intersezione tra il fascio e la retta:

−

 x a

=

y

 −

2 x a −

 x a

+ = + =

⇒ ⇒ ⇒

 3 x 1 ( 3 x 1 )( 2 x-a)-(x-a) 0

−

2 x a

 = +

y 3 x 1



 −

3

a 1

+ − = = =

⇒

2

6 (

1 3 ) 0 0

,

x x a x x 6 − +

 

3

a 1 3

a 1

≡ ≡  

per cui i punti di intersezione sono: A ( 0

,

1

), B ,

 

6 2

4

=

AB

Ora per risolvere il quesito bisogna imporre che 10

3 −

− −

2 2

      3

a 1

( ) ( )

3 1 3 1 1 1 10

a a

= + = − + = − =

2 2

     

3 1 3 1 10

AB a a

Ora      

6 2 36 4 36 6

−

3

a 1 4

= − =

⇒

10 10 3

a 1 8

Per cui 6 3

1

> = =

⇒

Ora se a l' equazione diventa 3

a-

1 8 a 3 che è accettabil

e

3 1 7

< = =

⇒

Se invece anch' essa accettabil

e

a l' equazione diventa 1

-

3

a 8 a -

3 3

Quindi le iperboli del fascio sono 2 e cioè: + −

3x 7 x 3

= =

y , y

+ −

6x 7 2x 3

Rappresentate sotto: −

+ x

x 3

3 7

−

+ x

x 2 3

6 7

6 7.5

4 5

2 2.5

-4 -2 2 4

-4 -2 2 4 -2.5

-2 -5

-4 -7.5