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Sessione suppletiva 1997 LS_ORD – Problema 1 Soluzione di De Rosa Nicola
1. Data l'equazione:
rappresentata in un sistema di coordinate cartesiane ortogonali da parabole con asse parallelo
all'asse y, determinare -in funzione del coefficiente a- i coefficienti b e c che individuano la famiglia
delle parabole passanti per i punti A(1,1) e B(2,0).
1. Determinare e rappresentare nel piano cartesiano il luogo dei vertici delle parabole della
.
famiglia
2. Considerate le due parabole della famiglia aventi vertici rispettivamente in A e
B, calcolare il rapporto tra l'area S della regione di piano racchiusa tra le due parabole e
l'area R del quadrilatero determinato dalle tangenti in A e in B alle due parabole.
3. Calcolare il volume del solido che si ottiene ruotando attorno all'asse delle x la superficie
delimitata oltre che dall'asse x stesso, dall'arco OA (essendo O l'origine degli assi cartesiani)
della parabola e dall'arco AB della parabola . 1
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Sessione suppletiva 1997 LS_ORD – Problema 1 Soluzione di De Rosa Nicola
PROBLEMA 1 = + +
2
Data l'equazione: y ax bx c rappresentata in un sistema di coordinate cartesiane
ortogonali da parabole con asse parallelo all'asse y, determinare -in funzione del coefficiente
a- i coefficienti b e c che individuano la famiglia delle parabole passanti per i punti A(1,1) e
B(2,0).
Punto 1
Determinare e rappresentare nel piano cartesiano il luogo dei vertici delle parabole della
.
famiglia
Il passaggio per i punti A=(1,1) e B=(2,0) impone due condizioni da soddisfare:
=
⎧ a a
+ + =
⎧ ⎪
a b c 1 ⇒ = − −
⎨ ⎨
b a
3 1
+ + =
⎩ a b c
4 2 0 ⎪ = +
⎩
c a
2 2
= − + + +
2
Per cui la parabola avrà equazione (
1 3 ) ( 2 2 )
y ax a x a .
Le coordinate del vertice V saranno:
+
⎧ +
⎧
3 1
a 3 1
a
= =
V
⎪ V
⎪
x
⎪ ⎪ x
2 a 2 a
⇔
⎨ ⎨ ( ) ( )
+ +
2 + −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 2
( ) ( )
⎪ ⎪
3 1 3 1
a
a ( ) 3 1 1
a a
− + + +
= = + − = −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
3 1 2 2
V a a a 2 2
V a
⎪
⎪ ⎩
y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ y
⎩ 2 2
a a 4 4
a a
=
⎧
V x
x
⎨ si ha:
Ora imponendo =
V y
⎩ y ⎧ 1
=
a
⎪
+ − 2
−
⎧ ⎛ ⎞
a
3 1 2 x 4
2 x 3
⎪
= = ⎜ ⎟
V x
⎪ ( ) ( )
− −
−
⎪ ⎪ 2 2
x ⎝ ⎠
2
⎛ ⎞ x 2 x 2
2 a 2 x 3
1
⇔ ⇔ = − = − =
⎨ ⎨ −
⎜ ⎟ y
1
( ) − −
− 2 − 4
⎝ ⎠ 2 x 3 3 2 x
⎪ ⎪
1 a 2 x 3
= = − = −
V y y
⎪ −
⎪
⎩ y 2 x 3
4
4 a ⎪ −
⎩ 2 x 3
( )
− 2
2
x
Γ =
: y .
Il luogo geometrico è allora: −
3 2 x 2
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Sessione suppletiva 1997 LS_ORD – Problema 1 Soluzione di De Rosa Nicola
( )
− 2
2
x
=
y :
Studiamo l’andamento della funzione −
3 2 x ⎛ ⎞
⎛ ⎞
3 3 3
∪ +∞
− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ∈ − ∞ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
¾ 3 2 x 0 x x ;
Dominio: , ,
⎝ ⎠
⎝ ⎠
2 2 2
( )
¾ Intersezioni asse ascisse: ;
2
, 0
⎛ ⎞
4
⎜ ⎟
¾ 0
, ;
Intersezioni asse ordinate: ⎝ ⎠
3
¾ Eventuali simmetrie: la funzione non è né pari né dispari;
( )
− ⎛ ⎞
2
2 3
x
= ≥ ⇔ − > ⇔ ∈ − ∞
⎜ ⎟
¾ 0 3 2 0 ,
y ;
Positività: x x
− ⎝ ⎠
3 2 2
x 3
=
¾ . Infatti:
Asintoti verticali: ne esiste uno di equazione x 2
( ) ( )
− −
2 2
x 2 x 2
= −∞ = +∞
lim , lim ;
− −
+ −
3 2 x 3 2 x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
3 3
→ →
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
x x
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2 ( )
− 2
x 2 = −∞
¾ lim
Asintoti orizzontali: non ce ne sono, infatti ;
−
→ ±∞ 3 2 x
x = +
¾ Asintoti obliqui: hanno equazione del tipo con:
y mx q
( )
− 2
2
x ( )
− 2
− 2 1
x
3 2 x
= = = −
lim lim ,
m − 2
→ ±∞ → ±∞ 2
x 3 2
x x
x x ( )
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
− − + + − − +
⎡ ⎤
2 2 2
[ ] x x x x x x 5 x 8 5
2 2 8 8 3 2
= − = + = = =
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
q lim f ( x ) mx lim lim lim ⎢⎣ ⎥⎦
− − −
→ ±∞ → ±∞ → ±∞ → ±∞
⎣ ⎦
⎣ ⎦
3 2 x 2 6 4 x 6 4 x 4
x x x x
x 5
= − +
Per cui l’asintoto obliquo è doppio e pari a ;
y 2 4 ( )( )
− −
2 x x 1
=
¾ Crescenza e decrescenza: la derivata prima della funzione è: f ' ( x ) 2 per
( )
− 2
3 2 x
( )( )
− − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 1 3 3
x x
= > ⇔ ∈ ∪
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
cui . Inoltre la derivata seconda è
, 2
' ( ) 2 0 1
,
f x x
( )
− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2 2
3 2 x ( )
2 = > = − <
= − f ' ' (
1
) 2 0
, f ' ' ( 2
) 2 0 , per cui è un minimo e
f ' ' ( x ) . Ora 1
,
1
( )
− 3
2 x 3
( ) è un massimo. Inoltre la funzione non presenta flessi.
2
, 0
Il grafico è di seguito presentato: 3
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Sessione suppletiva 1997 LS_ORD – Problema 1 Soluzione di De Rosa Nicola
Punto 2
Considerate le due parabole della famiglia aventi vertici rispettivamente in A e B,
calcolare il rapporto tra l'area S della regione di piano racchiusa tra le due parabole e l'area
R del quadrilatero determinato dalle tangenti in A e in B alle due parabole.
γ
Ricaviamo innanzitutto la parabola . Se il vertice ha ascissa unitaria, allora ricordando che
1
+ +
3
a 1
3
a 1 = − = =
= =
= a 1
, b 2
, c 0 e
l’ascissa del vertice è si ricava
, imponendo V 1
V x x 2 a
2 a
γ = − +
2
: y x 2 x cioè il vertice della parabola coincide col punto di minimo
l’equazione diventa 1
( )
− 2
x 2
Γ =
del luogo : y , e la parabola interseca l’asse delle ascisse in (0,0),(2,0) ed ha concavità
−
3 2 x
verso il basso.. γ . Se il vertice ha ascissa pari a 2, allora ricordando che l’ascissa del
Ricaviamo la parabola 2 +
+ 3
a 1
3
a 1 = = − =
= =
= si ricava a 1
, b 4
, c 4 e l’equazione diventa
vertice è , imponendo V 2
V x x 2 a
2 a
γ = − + = −
2 2
: y x 4 x 4 ( x 2
) cioè il vertice della parabola coincide col punto di massimo del
2 ( )
− 2
x 2
Γ =
: y , e la parabola è tangente all’asse delle ascisse in (2,0) e volge concavità
luogo −
3 2 x 4
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verso l’alto.
I grafici delle due parabole sono sotto presentati in un unico sistema di riferimento cartesiano
monometrico:
L’area racchiusa tra le due parabole è rappresentata in rosso nella figura soprastante ed è data
dall’integrale definito seguente:
[ ] [ ]
( ) ( )
2 2
( )
∫ ∫
= − + − − = − + − =
2
2 2
S x x x dx x x dx
2 2 2 6 4
1 1
2
⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
3
x
2 16 2 1
= − + − = − + − − − + − =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2
⎢ ⎥
x x
3 4 12 8 3 4
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦
3 3 3 3
1 γ = − +
2
Calcoliamo innanzitutto le tangenti in A=(1,1) e B=(2,0) alla parabola : y x 2 x . La
1
=
y visto che A=(1,1) è il vertice della parabola stessa.
tangente in A=(1,1) è la retta di equazione 1 ( )
( ) = = − = −
= −
y m x 2
La tangente in B=(2,0) ha equazione con m f ' ( 2
) 2 2 x 2 per cui la
=
x 2
( )
= − −
tangente in B=(2,0) ha equazione .
y x
2 2
Ora, invece, calcoliamo le tangenti in A=(1,1) e B=(2,0) alla parabola
γ = − + = − =
2 2
: y x 4 x 4 ( x 2
) . La tangente in B=(2,0) è la retta di equazione y 0 visto che
2 ( )
= − +
B=(2,0) è il vertice della parabola stessa. La tangente in A=(1,1) ha equazione con
y m x 1 1 5
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