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Problema 1 Maturità suppletiva 1997 - 1998 Soluzione a cura di Nicola De Rosa
liceo di ordinamento ( ) ( ) −
= + 1 x
f x x 1 e . Il candidato:
Sia data la funzione ( )
a. si studi la funzione ;
f x
b. in un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, disegni la curva C di equazione
( )
=
y f x ;
c. determini l’area della regione finita di piano compresa tra la curva C, l’asse delle ascisse e le due
( ( )
)
rette, parallele all’asse delle ordinate e passanti rispettivamente per il punto A x , f x , essendo
0 0
( ) ( ( )
)
x il valore di x in cui assume valore estremo relativo, e per il punto , essendo
,
f x B x f x x
0 1 1 1
( ) ha un flesso;
il valore di x in cui f x
d. calcoli l’area della regione piana delimitata dalla curva C e dall’asse x.
Risoluzione
Punto a ( )
si studi la funzione ;
f x
( ) ( ) −
= + x
1
Studiamo la funzione f x x 1 e
R
Dominio: ; ( ) ( ) ( )
−
= + = ⇒ −
x
1
Intersezione asse delle ascisse: f x x 1 e 0 1
, 0 ;
= → =
x 0 y e ;
Intersezioni asse delle ordinate:
Eventuali simmetrie: non è una funzione né pari né dispari;
( ) ( ) ( ) ( )
−
= + > ⇒ + > ⇒ ∈ − +∞
x
1
Positività: f x x 1 e 0 x 1 0 x 1
, ;
Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto la funzione ha R come dominio;
Asintoti orizzontali: ( ) ( )
+ +
( ) 1 1 1
x x
−
+ = ⎯
⎯ ⎯ ⎯
→ = =
De L'
Hopital
1 x
lim 1 lim lim lim 0
x e − − − =
x 1 x 1 x 1
→ +∞ → +∞ → +∞ → ±∞
e e e
x x x x per cui 0
y è
( ) ( ) ( )
−
+ = − ∞ ⋅ + ∞ = −∞
1 x
lim x 1 e
→ −∞
x
asintoto orizzontale destro;
Asintoti obliqui: non ve ne sono, infatti
( ) ( )
−
+ +
1 x
x e x
1 1 −
= ⋅ =
1 x
e
lim lim lim 0
→ +∞ → +∞ → +∞
x x
x x x
= 0
=
1 ;
( ) ( )
−
+ +
1 x
x 1 e x 1 −
= ⋅ = +∞
1 x
lim lim lim e
→ −∞ → −∞ → −∞
x x
x x x
= +∞
=
1 1
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Problema 1 Maturità suppletiva 1997 - 1998 Soluzione a cura di Nicola De Rosa
liceo di ordinamento ( ) ( )
− − −
= − + = −
1 x 1 x 1 x
Crescenza e decrescenza: la derivata prima è f ' x e x 1 e xe e
( ) ( ) ( )
−
= − > ⇒ ∈ − ∞ − ∞
1 x
f ' x xe 0 x , 0 quindi la funzione è strettamente crescente in , 0
( )
+∞
e strettamente decrescente in ;
0
, ( ) ( )
− − −
= − + = −
1 x 1 x 1 x
Concavità e convessità: la derivata seconda è f ' ' x e xe x 1 e . La
( ) ( ) ( )
−
= − > ⇒ − > ⇒ >
1 x
derivata seconda è positiva se f ' ' x x 1 e 0 x 1 0 x 1 per cui volge
( ) ( ) ( )
+∞ − ∞
1
, ,
1 1
, 2
concavità verso l’alto in e verso il basso in . Inoltre in la funzione
( ) ( )
= − <
presenta un flesso a tangente obliqua e poiché è un massimo
f ' ' 0 e 0 0
, e
relativo ed assoluto.
Punto b
in un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, disegni la curva C di
( )
= ;
equazione y f x H
L
Il grafico è presentato di seguito: -
1 x
ã +
x 1
5
4
ã x
- - - -
4 3 2 1 1 2 3 4
- 2
- 4
- 6
- 8
- 10
Punto c
determini l’area della regione finita di piano compresa tra la curva C, l’asse delle ascisse e le
( ( )
)
A x , f x
due rette, parallele all’asse delle ordinate e passanti rispettivamente per il punto ,
0 0
( )
x
essendo il valore di x in cui assume valore estremo relativo, e per il punto
f x
0
( ( )
) ( )
, essendo il valore di x in cui ha un flesso;
B x , f x x f x
1 1 1 2
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Problema 1 Maturità suppletiva 1997 - 1998 Soluzione a cura di Nicola De Rosa
liceo di ordinamento ( ) ( ) per cui l’area da calcolare è rappresentata in verde nella figura
I punti A e B sono A 0
, e , B 1
, 2
1 ( )
∫ −
= + 1 x . Applichiamo l’integrazione per parti e otteniamo:
soprastante e vale S x 1 e dx
0
( ) ( ) ( ) ( )
∫ ∫
− − − − − −
+ = − + + = − + − = − + +
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
x 1 e dx x 1 e e dx x 1 e e x 2 e k per cui
[ ]
1 [ ]
( ) ( ) ( )
∫ 1
− −
= + = − + = − + = −
1 x x
1 .
S x 1 e dx x 2 e 3 2 e 2 e 3
0
0
Punto d
calcoli l’area della regione piana delimitata dalla curva C e dall’asse x.
L’area da calcolare è rappresentata in verde nella figura soprastante e vale
+∞ a
( ) ( )
∫ ∫
− −
= + = +
1 1
x x
S x 1 e dx lim x 1 e dx .
→ +∞
a
− −
1 1 [ ] [ ]
a ( ) ( ) ( )
∫ a
− − −
+ = − + = − + +
1 x 1 x 1 a 2
Sfruttando i risultati del punto precedente si ha x 1 e dx x 2 e a 2 e e
−
1
−
1
+∞ [ ] +
a
( ) ( ) ( ) 2
a
∫ ∫
− − −
= + = + = − + + = −
x x a
1 1 1 2 2
per cui 1 lim 1 lim 2 lim
S x e dx x e dx a e e e .
−
a 1
→ +∞ → +∞ → +∞ e
a a a
− −
1 1 3
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