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Soluzione:
1) 1
x
∫
a) f dx
2
0 x = = = ⇒
⇒ ⇒
t x t dx dt
Sostituzio ne 2 2
2
1
1 2 ( )
x
∫ ∫
=
f dx f t dt Non ci sono condizioni sufficient i per calcolarlo
2
2
0 0
2
x
∫
b f dx
)
2
0
Con la stessa sostituzio
ne precedente si ha :
2 1
( )
x
∫ ∫
= =
f dx f t dt 4
2
2
0 0
4
x
∫
c) f dx
2
2
Con la stessa sostituzio
ne precedente si ha :
4 2 2 1
( ) ( ) ( )
x
∫ ∫ ∫ ∫
= = − = −
f dx f t dt f t dt f t dt 14
2 2
2
2 1 0 0
1 ( )
∫
d f x dx
) 2
0 t dt
= = =
⇒ ⇒ ⇒
t x dx
Sostituzio ne 2 x 2 2
1 2
( ) ( ) 5
1
∫ ∫
= = −
f x dx f t dt
2 2
2
0 0
2)
( )
1 1
∫ + + =
3 4 2
ax bx c dx 2 x x a b
+ + = + + =
a b cx c 2
0 4 2 4 2
⇒ 0
2
4 2
x x
( )
2 + + = + + = −
a b cx a b c
4 2 2 5
∫ + + = −
3
ax bx c dx 5
4 2
0
0
Per cui bisogna risolvere il sistema :
+ + =
a 2b 4c 8
+ + = −
a b c
4 2 2 5
+ − −
13 3a 7a 18
= =
c b
Sottraendo membro a membro troviamo : e sostituend o troviamo
2 2
Per cui : − − +
( ) 7a 18 13 3a
= + +
3
f x ax x
2 2
3)
Calcolo del punto di flesso: − −
( ) 7 a 18
= +
' 2
3
f x ax
2
( ) =
"
f x 6 ax − −
( ) ( ) 7 a 18
= ⇔ = = ≠ ⇒
" '
f x 0 x 0 e inoltre f 0 0
2 +
13 3a
= =
x 0 è ascissa dell' unico punto di flesso F 0,
2
F è centro di simmetria
Dimostriamo che : P P
Se S è centro di simmetria, una qualsiasi retta per S interseca la curva in due punti e
1 2
( ) ( ) ( )
α β
P x ; y P x ; y S ; P P
simmetrici rispetto ad S. Sia , , . è medio fra e quindi (1)
S
1 1 1 2 2 2 1 2
( ) ( )
+ + + ( ) ( )
x x y y f x f x β
α β = +
= = =
1 2 1 2 1 2 2 f x f x
(2) . Dalla (2) si ha =
1 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
α ∈
+ − x f x
f x f 2 x . Questa relazione deve valere per qualunque al dominio di
1 1 ( ) ( )
α β
+ − =
f x f x
2 2
+
13 3
a
α β . Per cui la relazione da dimostrare diventa:
Nel nostro caso =0 e = 2 ( ) ( )
+ − = +
f x f x a
13 3
Infatti: − − +
( ) 7 a 18 13 3
a
= + +
3
f x ax x
2 2
− − +
( ) 7 a 18 13 3
a
− = − − +
3
f x ax x
2 2
Da cui
( ) ( )
+ − = +
f x f x 13 3
a c.v.d
4) = −
a 7
+ ( )
13 3
a 31 31
= − = − = = − + −
⇒ ⇒ ⇒ 3
y 4 4 b f x 7x x 4
F 2 2 2
= −
c 4
Una tale funzione ha come dominio R, non presenta asintoti orizzontali, nè verticali nè obliqui,
31 31 31 31 31 31
− − − − − +
presenta un minimo in ed un massimo in . Il grafico
, 4 , 4
42 3 42 42 3 42
è sotto rappresentato: 31
=− + −
3 x
y 7x 4
2
30
20
10 x
-4 -2 2 4
-10
-20
-30
-40
