vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
SESSIONE ORDINARIA 2000
SOLUZIONE DI DE ROSA NICOLA
a)
Consideriamo la situazione rappresentata in figura:
La similitudine tra i rettangoli ABCD e ADKH consente di imporre la seguente proporzione:
AD:AB=AH:HK
a
= = =
Ora AB a , AH , HK AD per cui la proporzione diventa:
2 a
a
AD: = :AD
2
da cui 2
a a
= =
⇒
2
AD AD .
2 2
b)
Si consideri la figura sottostante:
Il volume della piramide ABCDV è: ( )
1
=
V * AB * CD * EV
ABCDV 3
L’altezza EV la si calcola sfruttando la trigonometria applicata al triangolo rettangolo VEF:
( ) ( )
ϑ ϑ
= =
EV EF tan a tan π
( ) 2
ϑ ϑ
= ∈ si ha:
Ora dalla traccia sappiamo che , per cui ricordando che
cos 0
,
2
13 3
4
−
( )
( ) 1
ϑ
−
ϑ 2
1 cos
( ) sin 3
13 13
ϑ = = = = =
tan ( ) ( )
ϑ ϑ 2 2
cos cos 2
13 13
Per cui ( ) ( ) 3
ϑ ϑ
= = =
tan tan ed il volume diventa :
EV EF a a
2
1 3 2
a
= =
3
V * a* * a a
ABCDV
3 2 4
2
c)
Consideriamo ora la figura sotto rappresentata: [ ]
= ∈
EL x , x 0
, a
Seguendo le indicazioni della traccia si ha:
Il poligono sezione è un trapezio isoscele per cui la sua area è:
( )
1
= + *
A NO GH QL
NOHG 2
Ora considerando il triangolo rettangolo QLF si ha:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
ϑ ϑ ϑ
= = − = − = −
tan tan tan
QL LF EF EL a x a x
2
Per calcolare NO ci avvaliamo della similitudine tra i rettangoli ABCD ed MNOP per cui con una
proporzione si ha: a
x *
MN * BC EL * BC x
2
= = = = =
⇒
AB : BC MN : NO NO AB AB a 2
Quindi l’area del poligono sezione cioè del trapezio NOHG sarà:
( ) ( )
x a
1 1 3 − =
= + = +
A NO GH QL a x
*
NOHG
2 2 2
2 2
( ) ( ) [ ]
3 3 2
− = − ∈
2 2 2 2
a x a x x ,a
con 0
8
4 2
