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Sessione ordinaria PNI 2004 Soluzione di De Rosa Nicola
Soluzione
1) λ λ
−
= > >
2
x
y ke , k 0
, 0
Studiamo la funzione
Dominio: la funzione è definita in tutto R;
Intersezione asse delle ascisse: non esistono intersezioni con l’asse delle ascisse;
= → =
Intersezione con l’asse delle ordinate: x 0 y k ;
λ λ
− − −
− = = =
2 2
( x ) x
f ( x ) ke ke f ( x )
Parità o disparità: per cui la funzione è pari;
λ
−
= > ∀ ∈
> 2
x
y ke 0 x R
Positività: essendo per ipotesi k 0 allora ;
Asintoti verticali: non ce ne sono visto il dominio;
( )
λ
− −∞
= = =
2
x ( )
lim ke ke 0 per cui y 0 è asintoto orizzontale destro e
Asintoti orizzontali: → ±∞
x
sinistro; ( )
λ
− 2
x
ke =
lim 0 ;
Asintoti obliqui: non ce ne sono visto che → ±∞ x
x 1
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λ
λ λ
−
= − > >
2
x
y ' 2 k xe
Crescenza e decrescenza: la derivata prima è ed essendo k 0
, 0 si ha
]
(
− ∞
≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ ,
0
y ' 0 x 0 x 0 per cui la funzione è crescente in e decrescente altrimenti;
[ ] [ ] 1
λ λ λ
λ
−
= − = ⇔ − = ⇔ = ±
2
x 2 2
y k e x x x
la derivata seconda è ' ' 2 2 1 0 2 1 0 per cui i
λ
2
1 1
− −
1 1 λ
= − <
−
2 2 sono due flessi; inoltre y ' ' ( 0 ) 2 k 0 per cui ( 0
, k )
punti , ke , , ke
λ λ
2 2
è un massimo relativo ed assoluto.
Il grafico è sotto presentato:
2)
Si consideri la figura sottostante: 2
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Vista la simmetria della funzione (ricordiamo che è pari) allora anche i vertici del rettangolo
= >
saranno simmetrici rispetto all’asse delle ordinate, per cui indicata con x h , h 0 l’ascissa
generica del punto D, i vertici del rettangolo saranno:
( )
λ
−
= − 2
h
A h , ke
( )
λ
−
= 2
h
B h , ke
= −
C ( h , 0 )
=
D ( h , 0 )
Quindi il rettangolo avrà area: ( )
λ λ λ
− −
= = = > > >
2 2
h h
( ) * 2 2 , 0
, 0
, 0
A h DB BA ke h hke h k
λ
−
= 2
h
( ) 2
A h hke
Calcoliamo le derivate della funzione :
( ) 1
λ λ
−
= − ≥ ⇔ < ≤
2
h 2
A
' ( h ) 2 ke 1 2 h 0 0 h λ
2
( ) ( ) ( )
( )
λ λ λ λ
λ λ λ λ λ λ λ
− − − −
= − − + − = − − + = −
2 2 2 2
h 2 h h 2 h 2
A
' ' ( h ) 4 hk e 1 2 h 2 ke 4 h 4 hk e 1 2 h 2 4 hke 2 h 3
λ λ
−
1
−
1 8 k 2
= = − <
2
A
' ' e 4 k 0
λ λ
e
2 2 3
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1
=
per cui l’area massima la si ha per h e quindi in corrispondenza dell’ascissa di flesso.
λ
2
3) +∞ 2
x
−
∫
= 2
I ke dx
Consideriamo l’integrale .
− ∞
Esso può essere riscritto in questo modo: 2
+ ∞ + ∞
2 x
x −
−
∫ ∫
= =
2
2
I ke dx k e dx
− ∞ − ∞
x
= → =
ed effettuando la sostituzione t dx 2 dt esso viene scritto come:
2 x
=
2
t
+ ∞ + ∞ + ∞
2 x
x −
− 2
( )
−
∫ ∫ ∫ 2
= = =
t
2
2
I ke dx k e dx k 2 e dt
− ∞ − ∞ − ∞
+∞ π
−
∫ =
2
x
ed essendo per ipotesi si ha:
e dx
− ∞ x
=
2
t
+ ∞ + ∞ + ∞
2 x
x −
− 2
( ) π π
−
∫ ∫ ∫ 2
= = = = =
t
2
2
I ke dx k e dx k 2 e dt k 2 * k 2
− ∞ − ∞ − ∞
Ora l’integrale non è altro che l’area sottesa dalla curva iniziale per cui tale area è unitaria se e
I 1
π
= = ⇔ = .
solo se 2 1
I k k π
2 2
x
−
1
= 2
In tal modo la funzione di partenza diventa y e e questa non è altro che la curva degli
π
2
errori di Gauss, quella che in probabilità e statistica va sotto il nome di distribuzione gaussiana
standard con media nulla e varianza unitaria.
4) µ σ
≠ ≠
2
In generale una densità di probabilità gaussiana con media 0 e varianza 1 (od
σ ≠
equivalentemente deviazione standard 1 ) è così espressa:
( )
µ
− 2
x
−
1
= σ 2
2
y e
σ π
2 µ σ
= 2
In particolare il passaggio da una variabile aleatoria gaussiana non standard X N ( , ) ad
µ
−
X
= =
una standard Y N ( 0
,
1
) avviene tramite la trasformazione lineare , per cui una
Y σ • la
trasformazione lineare trasforma una gaussiana in una gaussiana. Infatti indicando con [ ]
E 4
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media statistica, ricordando la proprietà di additività della media e che la media di una costante
µ
−
X
=
coincide con la costante stessa, si ricava la media statistica della variabile aleatoria :
Y σ
µ
−
( ) ( )
1 1
X µ µ µ
= = − = − =
[ ] [ ] [ ] 0
E Y E E X E
σ σ σ
Inoltre ricordando che in una trasformazione lineare, il cambiamento di scala influisce col suo
quadrato sulla varianza mentre una traslazione non influisce sulla varianza, si ricava la varianza
µ
−
X
=
della variabile aleatoria :
Y σ σ
( ) 2
1
σ σ
= = =
2 2 1
σ σ
Y X
2 2
( )
µ
− 2
x
−
1
= σ 2
2
y e
Le proprietà della funzione sono le seguenti:
σ π
2 1
µ
= =
Il massimo lo si ha per e vale ;
1. x y σ π
2
µ µ
=
2. La retta è l’asse di simmetria della curva ed il valore è la media coincidente
x
con la moda e la mediana ;
µ µ
< >
E’crescente per e decrescente per ;
3. x x
4. E’asintotica all’asse delle ascisse da ambo i lati;
µ σ
= ±
5. Presenta flessi in ;
x
( )
µ
− 2
+ ∞ x
−
1
∫ =
σ 2
2
6. 1 essendo una densità di probabilità.
e dx
σ π
2
− ∞
Una tale funzione, visto il suo vastissimo uso è tabellata numericamente. In particolare esistono
( )
µ
− 2
x
−
+ ∞ σ 2
2
e
∫
∀ ∈ =
tabelle che contengono i valori dell’integrale ( ) . Questo integrale non è
x R Q x dx
σ π
2
x µ σ
= 2
altro che la probabilità che una variabile aleatoria gaussiana ( , ) assuma valori maggiori
X N
( )
µ
− 2
x
−
+ ∞ σ 2
2
e
∫
= = >
di , cioè ( ) Pr( ) .
x Q x dx X x
σ π
2
x µ σ 2
Una tale densità di probabilità presenta come parametri caratteristici la media , la varianza e
σ
la deviazione standard definita come la radice quadrata della varianza. Discutiamo ora il
µ
significato della media e della varianza al variare dell’una e fissata l’altra.
σ µ
• 2
Fissata la varianza , al variare della media la forma della campana non muta, ma
5
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µ
=
trasla lungo l’asse delle ascisse. Infatti , come già evidenziato, è asse di simmetria per
x 1
µ
=
la densità ed in corrispondenza di la densità assume valore massimo pari a .
x σ π
2
µ σ
• 2
Fissata la media , al variare della varianza , la densità cambia forma. Infatti al
σ
σ 2
decrescere della varianza ( e quindi di ) la campana di Gauss si restringe sempre più
µ
=
ed il massimo raggiunto per aumenta (visto che l’area sottesa deve essere sempre
x µ
= quando
unitaria), e la campana tende a diventare una delta di Dirac centrata in x
σ
σ σ
→
2 2
0 . Viceversa al crescere di (e quindi di ) la campana si allarga sempre più, il
σ → ∞
2 la curva tende a
suo massimo diminuisce, e la curva si abbassa, ed al limite quando
coincidere con l’asse delle ascisse. Questo ci fa pensare che la deviazione standard e la
varianza siano degli indici di come si distribuiscono i valori intorno alla media.
µ
In conclusione la media non influisce sulla forma della densità di probabilità, mentre la varianza
σ 2 fa cambiare il diagramma, facendo alzare il massimo e restringere le code, oppure abbassare il
massimo ed allargare le code al suo variare. 6
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Soluzione
1) π π
x x ∀ ≠
= +
La funzione è una funzione , 0 continua in tutto R per cui
a b
( ) sin cos
f x x
2
a b
anche in un intervallo chiuso e limitato [a,b]; per il teorema dei valori intermedi allora la funzione
assumerà almeno una volta un valore compreso nell’intervallo [ ( ), ( )] . Ora essendo
f a f b
+ +
( ) ( )
a b f a f b
= = = =
( ) , ( ) si ha ( ) che è il valore medio dell’intervallo
f a a f b b f x 2 2
[ ( ), ( )] , ed è perciò incluso in esso.
f a f b
2) π π
( )
1
x x π
= = = + = +
. Discutiamola:
Se 2 2 la funzione diventa
a b ( ) sin cos sin
f x x x x
2 2 2
Dominio: tutto R;
Intersezione asse delle ascisse: (0,0);
Intersezione asse delle ordinate: (0,0); − = −
Parità o disparità: la funzione è dispari in quanto ( ) ( ) ;
f x f x
( ) ( )
1 1
π π
= + ≥ ⇔ ≥ −
Positività: ( ) sin 0 sin ed essa può essere risolta se
f x x x x x
2 2
risolviamo il sistema ( )
1 π
= sin
y x
2
= −
y x
1
≥
y y
1
7
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( )
1 π = −
= y x
La funzione sin è una funzione periodica di periodo T=2, mentre la funzione
y x 1
2
è la bisettrice del secondo e quarto quadrante. La sovrapposizione dei due grafici è sotto
presentata: ( )
1 π ≥ − ⇔ ≥
Dal grafico si nota che sin 0 ;
x x x
2
Asintoti verticali, orizzontali ed obliqui: non esistono; π ( ) ( ) 2
π π
= + ≥ ⇔ ≥ −
Crescenza e decrescenza: la derivata prima è ' ( ) cos 1 0 cos
f x x x π
2
e la risoluzione della disequazione la si ricava dalla risoluzione del sistema seguente
( )
π
=
y cos x
2
= −
y π
1
≥
y y
1
( ) 2
π
= = −
y x
cos
La funzione è una funzione periodica di periodo T=2, mentre la funzione y π
1
è una retta parallela all’asse delle ascisse. La sovrapposizione dei due grafici è sotto presentata: 8
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( ) 2 2 1 2
π π π
= − ⇔ = ± + = ± +
⇒
, per cui dal
Ora cos x x arccos 2 k x arccos 2 k
π π π π
grafico soprastante si deduce che
( ) 2 1 2 1 2
π ≥ − ⇔ − + ≤ ≤ +
. Inoltre la derivata seconda è
cos x arccos 2 k x arccos 2 k
π π π π π
π 2 π π π
= − = ⇔ = ⇔ = = ± ±
f ' ' ( x ) sin( x ) 0 x k x k 1
, 2 , per cui
L
L
2
1 2 1 2
− + > + <
f ' ' arccos 2 k 0
, f ' ' arccos 2 k 0 e per questo motivo le ascisse
π π π π
1 2 1 2
= − + = +
sono ascisse di minimi relativi e le ascisse
x arccos 2 k x arccos 2 k
π π π π
sono ascisse di massimi relativi.
Il grafico è sotto presentato: 9
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3)
1 2
> =
Per x 0 l’ascissa del primo massimo relativo è . Esso cade nell’intervallo
x arccos
π π
π
1 1 = > = − <
: infatti considerando la derivata prima si ha per cui per il
,
1 f ' 1 0
, f ' (
1
) 1 0
2 2 2
1
α incluso nell’intervallo in cui la funzione derivata
teorema degli zeri esisterà un valore ,
1
2
π ( )
π
= +
f ' ( x ) cos x 1 si annullerà . Tale valore lo si può calcolare attraverso un metodo
prima 2
iterativo, ad esempio il metodo di bisezione che illustriamo di seguito:
1
+
1
3 3 3 1 3
2
π π α
= = + ≅ − < ∈
⇒
f f 0
.
22 0 ,
' ' cos
1. ;
2 4 4 4 2 4
5 5 5 5 3
π π α
= + ≅ > ∈
⇒
2. ;
f ' cos 0 . 79 0 ,
8 8 8 8 4
11 11 11 11 3
π π α
= + ≅ > ∈
⇒
3. ;
f ' cos 0 . 25 0 ,
16 16 16 16 4
23 23 23 23 3
π π α
= + ≅ > ∈
⇒
;
4. f ' cos 0 . 0069 0 ,
32 32 32 32 4 10
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47 47 47 23 47
π π α
= + ≅ − < ∈
⇒
5. .
f ' cos 0 . 1098 0 ,
64 64 64 32 64
α α
< < ≈
Quindi 0 . 71875 0 . 7344 per cui 0 . 7 , e se procediamo con l’algoritmo troveremmo
α ≈
più precisamente 0 . 719668 . 11
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Soluzione
1)
Il grado sessagesimale si definisce come la trecentosessantesima parte dell’angolo giro ed i suoi
sottomultipli sono il primo ed il secondo.
Il radiante misura l’angolo al centro che sottende un arco di circonferenza di lunghezza pari al
raggio.
