2005 - liceo scientifico, sessione ordinaria, scuole italiane all'estero, calendario australe

Sessione ordinaria all’estero calendario australe 2005 Soluzioni a cura di Nicola De Rosa

MINISTERO DELL'ISTRUZIONE, DELL'UNIVERSITÀ E DELLA RICERCA

SCUOLE ITALIANE ALL’ESTERO

ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

Sessione Ordinaria 2005

Calendario australe

SECONDA PROVA SCRITTA

Tema di Matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e 4 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1

+

2

x 1

( ) ( ) ( ) ( )

= =

la sua primitiva tale che . Siano inoltre φ e Ф le curve

f x e sia

Sia F x F 1 f 1

2

x

rappresentative rispettivamente di f e F.

1. Nel piano riferito ad assi cartesiani, ortogonali e monometrici, si disegnino φ e Ф;

2. si determinino le coordinate dei punti comuni a φ e Ф e le equazioni delle tangenti

alle due curve in tali punti;

3. si determini l’area della regione finita di piano delimitata dalle due curve e dalla retta

+ = .

x 2 0

PROBLEMA 2

Il triangolo ABC ha il lato BC che è il doppio di CA di lunghezza k mentre il triangolo rettangolo

ABD, con D dalla parte opposta di C rispetto ad AB, ha il cateto AB che è il doppio di BD.

1. Si esprima l’area del quadrilatero ADBC in funzione dell’angolo ACB;

2. si determini il valore di ACB cui corrisponde il quadrilatero di area massima;

3. di tale quadrilatero si determini area e perimetro.

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QUESTIONARIO

1. Prova che fra tutti i cilindri inscritti in un cono circolare retto ha volume massimo quello la

cui altezza è la terza parte di quella del cono.

2. S indica la somma di n termini in progressione geometrica di primo termine 1/3 e ragione

n S n

1/3. Calcola il lim n

→ ∞

n

3. Una piramide ha la base quadrata e l’altezza uguale a 10cm. Quanti piani paralleli alla base

dividono la piramide in due parti i cui volumi sono nel rapporto 7:3? Quali sono le distanze

di tali piani dal vertice della piramide?

3 e illustra le variazioni che intervengono nel suo grafico per

4. Considera la cubica y = x

3

l’aggiunta ad x di un termine kx al variare di k nell’insieme dei numeri reali.

5. Due lati di un triangolo misurano a e b. Determina il terzo lato in modo che l’area sia

massima. 1

= +

y arctan x arctan . Cosa puoi dire della funzione? E’

6. Calcola la derivata della funzione x

costante? Illustra il perché della tua risposta.

7. Spiega come utilizzeresti il teorema di Carnot per trovare la distanza tra due punti accessibili

ma separati da un ostacolo.

8. Quando una funzione f è invertibile? Come si può calcolare la derivata della funzione

−

1

f ? Fai un esempio.

inversa

_________________________

Durata della prova: 6 ore.

Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.

È consentito l’uso della calcolatrice non programmabile.

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PROBLEMA 1

+

2

x 1

( ) ( ) ( ) ( )

= =

f x

Sia e sia la sua primitiva tale che . Siano inoltre φ e Ф le curve

F x F 1 f 1

2

x

rappresentative rispettivamente di e

f F.

Punto 1

Nel piano riferito ad assi cartesiani, ortogonali e monometrici, si disegnino φ e Ф;

+

2

x 1

( ) =

Studiamo la funzione f x 2

x

{ }

Dominio: ;

R / 0

Intersezione asse delle ascisse: non ve ne sono;

Intersezioni asse delle ordinate: non ve ne sono; ( ) ( )

− =

Eventuali simmetrie: è una funzione pari in quanto ;

f x f x

+

2 1

x

( ) { }

= > ⇒ ∀ ∈

Positività: 0 x R / 0

f x ;

2

x +

2

x 1 = +∞ =

Asintoti verticali: per cui è asintoto verticale;

lim x 0

2

x

±

→ 0

x +

2 1

x =

= y 1 è esistono asintoto orizzontale;

Asintoti orizzontali: lim 1 per cui

2

x

→ ±∞

x

Asintoti obliqui: non ve ne sono vista la presenza dell’asintoto orizzontale; 2

= −

y . Quindi

'

Crescenza e decrescenza: la derivata prima è 3

x

+

2

2 x 1

( ) ( )

= − > ⇒ ∈ − ∞ =

y ' 0 x ,

0 . In conclusione la funzione f x è strettamente

3 2

x x

( ) ( )

− ∞ +∞

e strettamente decrescente in .

crescente in , 0 0

, 6

( ) ( ) ( )

= > ⇒ ∈ − ∞ ∪ +∞

Concavità e convessità: la derivata seconda è f ' ' x 0 x ,

0 0

,

4

x

( ) ( )

− ∞ ∪ +∞ la funzione ha concavità verso l’alto. Il grafico è sotto

per cui in , 0 0

,

presentato:

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⎞

⎛ +

2 ⎛ ⎞

1 1 1

x ( ) ( )

( ) ∫ ∫

⎟

⎜ = +

= = − + = = =

⎜ ⎟ . Imponendo si ricava da cui

1

F x dx dx x k F 1 f 1 2 k 2

⎟

⎜ 2 2 x

⎝ ⎠

x x

⎠

⎝ + − + −

2 2

1 x 2 x 1 x 2 x 1

( ) ( )

= − + = =

F x x 2 F x

. La funzione non è altro che una iperbole di

x x x

= +

= ed asintoto obliquo y x 2 .

asintoto verticale x 0 + −

2

x 2 x 1

( ) =

F x e ritroviamo i risultati di cui sopra.

Studiamo analiticamente la funzione x

{ }

Dominio: ;

R / 0 + −

2

x 2 x 1

( ) = = ⇒ = − ±

Intersezione asse delle ascisse: F x 0 x 1 2 ;

x

Intersezioni asse delle ordinate: non ve ne sono;

Eventuali simmetrie: non è una funzione né pari né dispari;

+ −

2

x 2 x 1

( ) = > ⇒ − − < < ∨ > − +

Positività: F x 0 1 2 x 0 x 1 2 ;

x + −

2

x x

2 1 = ∞ =

∓

Asintoti verticali: per cui è asintoto verticale;

lim x 0

x

±

→

x 0 + −

2

x x

2 1 = ±∞

Asintoti orizzontali: per cui non esistono asintoti orizzontali;

lim x

→ ±∞

x = +

Asintoti obliqui: hanno equazione con

y mx q

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( ) + −

2 2 1

F x x x

= = =

lim lim 1

,

m 2

x x

→ ±∞ → ±∞

x x ⎛ ⎞

+ − −

2 ⎛ ⎞

x x x

2 1 2 1

[ ]

( ) ⎜ ⎟

= − = − =

= ⎜ ⎟

q F x mx x

lim lim lim 2

⎜ ⎟

x x

⎝ ⎠

→ ±∞ → ±∞ → ±∞

⎝ ⎠

x x x

= +

Per cui l’asintoto obliquo ha equazione 2

y x +

2

x 1

( ) =

Crescenza e decrescenza: la derivata prima è F ' x . Quindi la funzione

2

x

+ −

2

x 2 x 1

( ) ( ) ( )

= − ∞ ∪ +∞

F x .

è strettamente crescente in , 0 0

,

x 2

( ) ( )

= − > ⇒ ∈ − ∞

Concavità e convessità: la derivata seconda è F ' ' x 0 x ,

0 per cui in

3

x

( )

− ∞ la funzione ha concavità verso l’alto.

, 0

Il grafico è sotto presentato:

Il grafico sottostante mostra in uno stesso riferimento cartesiano ambo i grafici:

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Punto 2

si determinino le coordinate dei punti comuni a φ e Ф e le equazioni delle tangenti alle due

curve in tali punti;

I punti di intersezione si ricavano risolvendo il sistema seguente:

⎧ +

2 1

x

( ) =

f x

⎪

⎪ 2

x ⇒

, :

A B ⎨ + −

2

x x

2 1

⎪ ( ) =

F x

'

⎪

⎩ x ( )

=

⎧

+ + − A 1

, 2

2 2

x x x

1 2 1 ( )( ) 2

= ⇒ + = + − ⇒ + − − = + − = ⇒

2 3 2 3 2

x x x x x x x x x

1 2 1 1 1 0 ⎨ ( )

= −

2 B 1

, 2

x

x ⎩

+

2

x 1

( ) =

f x hanno equazioni:

Le tangenti in A e B alla curva 2

x

( )

= − +

y m x 1 2

A ( )

= + +

y m x 1 2

B ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

2 2

= − = − = − = da cui

con m m

2

, 2

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

A B

3 3

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x x

= = −

x 1 x 1

( )

= − − + = − +

y 2 x 1 2 2 x 4

( )

= + + = +

y 2 x 1 2 2 x 4 +

2

x 1

( ) =

f x

Di seguito vengono raffigurate le due tangenti alla curva 2

x

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+ −

2

x 2 x 1

( ) =

Le tangenti in A e B alla curva F x hanno equazioni:

x

( )

= − +

y m x 1 2

A ( )

= + +

y m x 1 2

B ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

+ +

2 2

1 1

x

x

= = = = da cui

con 2

, 2

m

m ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

A B

2 2

x

x

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= = −

1 1

x x

( )

= − + =

y 2 x 1 2 2 x

( )

= + + = +

y 2 x 1 2 2 x 4 + −

2

x 2 x 1

( ) =

Di seguito vengono raffigurate le due tangenti alla curva F x x

Punto 3

si determini l’area della regione finita di piano delimitata dalle due curve e dalla retta

+ =

x 2 0

L’area è raffigurata in verde nella figura sottostante:

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L’area vale:

− − −

⎞

⎛

1 1 1

+ + −

2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

x 1 x 2 x 1 1 1 1 1

∫ ∫ ∫

⎟

⎜ = + − − + = − − + + =

= − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

S dx 1 x 2 dx x 1 dx

⎟

⎜ 2 2 2

x x x

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x x

x ⎠

⎝

− − −

2 2 2

−

( ) 1

⎡ ⎤

2

+ ⎛ ⎞

x 1 1 1 1

( )

= − − + = − − + + = −

⎜ ⎟

ln x 1 ln 2 1 ln 2

⎢ ⎥

2 x 2 2

⎝ ⎠

⎣ ⎦ − 2

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PROBLEMA 2

Il triangolo ABC ha il lato BC che è il doppio di CA di lunghezza mentre il triangolo

k

rettangolo ABD, con D dalla parte opposta di C rispetto ad AB, ha il cateto AB che è il doppio

di BD.

Punto 1

Si esprima l’area del quadrilatero ADBC in funzione dell’angolo ACB;

C

A B

D

AB ˆ

= = = =

CB 2 k , CA k , BD . Poniamo

Per ipotesi .

A

C B x

2 ( )

1

( ) ( )

ˆ

= ⋅ ⋅ ⋅ = 2 . Per il teorema di Carnot il

Il triangolo ABC ha area S ABC AC CB sin A

B

C k sin x

2 ( ) ( )

= + − = −

2 2 2

lato AB misura AB 4 k k 4 k cos x k 5 4 cos x . L’area del triangolo ADB vale

2 2

1 AB k [ ]

( ) ( )

= ⋅ ⋅ = = −

S ADB AB BD 5 4 cos x . Quindi l’area del quadrilatero è

2 4 4 π

2 2 2 ⎛ ⎞

k k k

5 5

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= + − = + − = + −

2 2 2 ⎜ ⎟

S ADCB k x x k x x k x

sin 5 4 cos sin cos 2 sin

4 4 4 4

⎝ ⎠

Punto 2

si determini il valore di ACB cui corrisponde il quadrilatero di area massima;

π

2 ⎛ ⎞

5 k

( ) = + −

2 ⎜ ⎟

Sia 2 sin

f x k x

4 4

⎝ ⎠ π π π

π

⎛ ⎞ 3

− = − = ⇒ = = °

⎜ ⎟

L’area è massima quando sin x 1 e cioè quando x x 135 e l’area

4 4 2 4

⎠

⎝ ⎛ ⎞

π +

2

⎛ ⎞

3 5 5 4 2

k ⎜ ⎟

= + =

2 2

⎜ ⎟ 2

f k k .

massima vale ⎜ ⎟

4 4 4

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Punto 3

di tale quadrilatero si determini area e perimetro. ⎛ ⎞

+

5 4 2

( ) ⎜ ⎟

= 2

L’area, come già trovato al punto precedente, vale S ABCD k .

⎜ ⎟

4

⎝ ⎠

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AB k AB k

2 2

= = + = + = = +

BD 5 2 2 mentre AD AB BD 5 25 10 2 .

Il lato BD misura 2 2 2 2

In conclusione il perimetro misura

( )

k k k ⎡ ⎤

( ) = + + + + = + + + .

2 p ABCD 3

k 5 2 2 25 10 2 6 1 5 5 2 2

⎢⎣ ⎥

⎦

2 2 2

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QUESTIONARIO

Quesito 1

Prova che fra tutti i cilindri inscritti in un cono circolare retto ha volume massimo quello la

cui altezza è la terza parte di quella del cono.

Si consideri la figura sottostante raffigurante in sezione il cono circoscritto al cilindro.

C

G K F

A B

D H E = < <

Siano r ed h il raggio di base e l’altezza del cono rispettivamente. Poniamo con .

KH x 0 x h

=

CH : HB FE : EB =

h : r x : EB

I triangoli CHB e FEB sono simili per cui e cioè da cui

⎛ ⎞

xr x

xr = − = − = −

= ⎜ ⎟

R HB EB r r 1 . Il volume del

EB da cui il raggio di base del cilindro è h h

h ⎝ ⎠

)

( 2

⎞

⎛ x

( ) 2

π π

= ⋅ ⋅ = ⋅ −

2 ⎟

⎜

cilindro è 1 . La massimizzazione del volume la

V x HE KH r x

Cilindro h ⎠

⎝

effettuiamo tramite derivazione. La derivata prima del volume è:

⎡ ⎤

2 π

⎡ ⎤

2 2

⎞

⎛

⎞

⎛ x x x x x r

2 3 4

( ) ( )( )

π π

= − + = − −

− −

= −

' 2 2

⎟

⎜

⎟

⎜ x h x h per cui

V x r r

1 1 1 3

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

Cilindro 2 2

h

h h h ⎠

⎝

⎠

⎝ h h

⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

π 2 ⎞

⎛

h h

r

( ) ( )( ) ( )

= − − > ⇒ < < ⇒

' ⎟

⎜

3 0 0 strettamen

te crescente in 0

,

x h x h x V x

V x

Cilindro Cilindro

2 3 3 ⎠

⎝

h

π 2 ⎞

⎛

r h h

( ) ( )( ) ( )

= − − < ⇒ < < ⇒

' ⎟

⎜

3 0 strettamen

te decrescent

e in ,

V x x h x h x h V x h

Cilindro Cilindro

2 3 3 ⎠

⎝

h

π 2

r h

( ) ( )( )

= − − = ⇒ = ∨ =

' 3 0

x h x h x h x

V x

Cilindro 2 3

h π π

2 2

⎛ ⎞

2 r h 2 r

( ) ( )

= − ⇒ = − <

'

' ' ' ⎜ ⎟

Inoltre per cui il volume del cilindro è

3 x 2 h V 0

V x

Cilindro Cilindro

2 3 h

⎝ ⎠

h 2 π 2

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛ 1 4

h h r h

h π

= =

⋅ −

= 2 ⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

x 1

e vale

massimo per V r .

Cilindro

3 3 3 3 27

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

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Quesito 2

S indica la somma di n termini in progressione geometrica di primo termine 1/3 e ragione

n S n

1/3. Calcola il lim n

→ ∞

n

La somma S di una progressione geometrica di primo termine e ragione q è:

a

n 1

⎤

⎡ n

⎛ ⎞

1 −

⎜ ⎟ 1 ⎥

⎢ ⎡ ⎤

n

−

n ⎛ ⎞

q 1 1

1 1 3

⎝ ⎠ ⎥

⎢ = −

= = ⎜ ⎟ .

S a 1

⎢ ⎥

⎥

⎢

n 1 − ⎛ ⎞

1

q 2 3

1 3 ⎝ ⎠