2005 - liceo scientifico - sezioni bilingui italo-albanesi

Sessione ordinaria per le sezioni Italo-Albanesi 2005 Soluzioni a cura di Nicola De Rosa

SEZIONI BILINGUI ITALO-ALBANESI

ESAME DI STATO A.S. 2004-2005

PROVA SCRITTA DI MATEMATICA

1. Studiare e rappresentare graficamente in un piano cartesiano ortogonale XOY la funzione

+

2

( ) x 1

= =

F x . Verificare che le tangenti alla funzione nei punti A e B di ascissa x 1 e

− 2

4 x

= −

x 1 , si incontrano in un punto dell’asse delle ordinate.

2. Studiare e rappresentare graficamente in un piano cartesiano ortogonale XOY le due

parabole di equazioni

= − + = −

2 2

Y X 4 X 1 e Y 1 X

Determinare quindi i punti comuni tra le due parabole e trovare l’area della parte finita di

piano compresa tra le due funzioni.

⋅

Z Z

3. Dati i due numeri complessi Z =3-3i e Z = 1+i, calcola il prodotto . Rappresenta nel

1 2 1 2

piano di Gauss il numero complesso così ottenuto e determinane modulo e argomento.

4. Risolvere con il metodo di Cramer il seguente sistema

− − = −



3 x 6 y 3 z 2

 − − =

 3 0

x z

 − + =

x 3 y 2 z 4



La durata della prova è di ore 4.

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PROBLEMA1

Punto 1

Studiare e rappresentare graficamente in un piano cartesiano ortogonale XOY la funzione

+

2

( ) x 1

=

F x .

− 2

4 x { }

±

R / 2

Dominio: ;

Intersezione asse delle ascisse: non ce ne sono;

( ) 1

= → =

Intersezioni asse delle ordinate: x 0 F 0 ;

4 ( )

− + +

2 2

x 1 x 1

− = = =

F ( x ) F ( x ) ;

Eventuali simmetrie: è una funzione pari, infatti ( ) −

− − 2 2

4 x

4 x

+

2

( ) x 1

= > − > − < <

⇒ ⇒

2

F ' x x x ;

Positività: 0 4 0 2 2

− 2

4 x

Asintoti verticali:

+ +

2 2

x 1 x 1

= −∞ = +∞

lim , lim

− −

2 2

+ −

→ →

4 x 4 x

x 2 x 2

+ +

2 2

1 1

x x

= +∞ = −∞

lim , lim

− −

2 2

+ −

→ − → −

4 x 4 x

x 2 x 2

= ±

per cui x 2 sono due asintoti verticali destro e sinistro;

+

2

x 1 = −

= − y 1 è asintoto orizzontale;

Asintoti orizzontali: lim 1 per cui

− 2

→ ±∞ 4 x

x

Asintoti obliqui:trattandosi di una funzione razionale fratta, la presenza di asintoti

orizzontali esclude quella degli obliqui;

Crescenza e decrescenza: la derivata prima è

( ) ( )

− + +

2 2

( ) ( ) ( )

2 x 4 x 2 x x 1 10 x

= = > ∈ ∪ +∞

⇒

F ' x 0 x 0

, 2 2

, per cui la funzione

( ) ( )

2 2

− −

2 2

4 x 4 x

( ) ( )

∪ +∞

0

, 2 2

,

è strettamente crescente in e strettamente decrescente in

( ) ( )

− ∞ − ∪ −

, 2 2

,

0 ; ( )

+

2

( ) 10 3 x 4

= > − < <

⇒

F ' ' x 0 2 x 2

Concavità e convessità: la derivata seconda è per

( )

3

− 2

4 x

( ) ( ) 5

− = >

2

, 2

cui in la funzione ha concavità verso l’alto; inoltre F ' ' 0 0 per cui

8

 

1

  è un minimo relativo. Il grafico è sotto presentato:

0

,

 

4

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Punto 2 = = −

Verificare che le tangenti alla funzione nei punti A e B di ascissa e , si incontrano

x 1 x 1

in un punto dell’asse delle ordinate.

       

2 2 2 2

= = − = = −

       

. Le due tangenti nei punti sono

I punti A e B sono A 1

, , B 1

, A 1

, , B 1

,

       

3 3

3 3

rispettivamente:

( ) 2

= − +

t : y m x 1

A A 3

( ) 2

= + +

t : y m x 1

B B 3

   

10 x 10 10 x 10

= = = = −

   

dove m , m per cui le tangenti sono

( ) ( )

A B

2 2

− −

9 9

   

2 2

   

4 x 4 x

= = −

x 1 x 1

( )

10 2 10 4

= − + = −

t : y x 1 x

A 9 3 9 9

( )

10 2 10 4

= − + + = − −

t : y x 1 x

B 9 3 9 9

Calcoliamo il punto C di incontro:

 10 4

= −

y x



  

4

9 9 = −

⇒  



C C

: 0

,

 

10 4 9

 = − −

y x



 9 9

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PROBLEMA2

Punto 1

Studiare e rappresentare graficamente in un piano cartesiano ortogonale XOY le due

parabole di equazioni

= − + = −

2 2

Y X 4 X 1 e Y 1 X ( )

= −

= − +

2 V 2

, 3

La parabola Y X 4 X 1 ha concavità verso l’alto, vertice in ed interseca l’asse

( )

= ± 0

,

1

delle ascisse in x 2 3 e l’asse delle ordinate in .

± ( )

=

= − 2 V 0

,

1

La parabola Y 1 X ha concavità verso il basso, vertice in ed interseca l’asse delle

1

( )

= ±

x 1 0

,

1

ascisse in e l’asse delle ordinate in .

±

Punto 2

Determinare quindi i punti comuni tra le due parabole e trovare l’area della parte finita di

piano compresa tra le due funzioni.

I punti comuni alle due parabole come già evidenziato dal grafico soprastante sono i due vertici

( ) ( )

= − =

V 2

, 3 V 0

,

1

e . Analiticamente si tratta di risolvere il sistema

1

= − +

 2



Y X 4 X 1 ( ) ( ) ( )

− + = − − = = − =

⇒ ⇒ ⇒

2 2

 .

V , V : X 4 X 1 1 X 2 X X 2 0 V 2

, 3 , V 0

,

1

1 1

= −

 2

Y 1 X

L’area da calcolare è

2

[ ]

( ) ( ) ( )  

2 2 3

2 X 16 8

∫ ∫

= − − − + = − + = − + = − + =

2 2 2 2

S 1 X X 4 X 1 dX 2 X 4 X dX 2 X 8 .

 

3 3 3

 

0 0 0

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