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Corso di ordinamento- Sessione ordinaria all’estero (AMERICHE) - a.s. 2007-2008
Soluzione di De Rosa Nicola
______________________________________________________________________________
] [
= ∈
La base HI del rettangolo FGHI si trova sulla retta generica di equazione . I
, 0
,
1
y k k
+ =
2 2 sono
punti di intersezione di suddetta retta con la circonferenza di equazione 1
x y
) )
( (
= − = − −
2 2
rispettivamente 1 , , 1 , , mentre F e G hanno coordinate
H k k I k k
) )
( (
= − − = −
2 2
1 ,
0 , 1 ,
0 . Con queste coordinate la base del rettangolo sarà pari a
F k G k ] [
∈ 0 ,
1
k
= = = =
= = = − 2 , e l’altezza . L’area del rettangolo è
2 2
2 1 h HG IF k k
b FG HI k ] [
( ) = − ∈
2
4 1 con . Massimizziamo la funzione area attraverso il calcolo
allora 0
,
1
S k k k k ( ) ⎤ ⎡
−
2 2
4 4 1 2 2
( ) k k
= − − =
2
della derivata prima: per cui in
' 4 1 0
, la funzione
⎥ ⎢
S k k 2
− −
2 2 ⎦ ⎣
1 1
k k
⎤ ⎡ 2
2 = in cui
,
1 è strettamente decrescente e si annulla in
è strettamente crescente, in ⎥ ⎢ k 2
2
⎦ ⎣
assume il valore massimo. Quindi il rettangolo di area massima ha vertici
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 2 2 2 2 2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= = = − = −
, , , ,
0
,
0 , , ed il rettangolo di area
G H I F
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 2 2 2 2 2
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 1
massima è costituito da due quadrati di lato ed area . Pertanto il rettangolo ha area
2 2
massima unitaria.
• Uso della trigonometria
Si consideri la figura sottostante: 5
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π
⎛ ⎞
α ∈ ⎜ ⎟
La limitazione geometrica impone .C
0
, 2
⎝ ⎠ ( ) ( )
α α
= =
In tal caso per il teorema sui triangoli rettangoli , per cui
cos , sin
CG HG
( ) ( ) ( ) ( )
α α α α
= ⋅ = ⋅ = ⋅ = , ed essendo l’area una funzione
2 2 cos sin sin 2
S FG HG CG HG π π
( ) α π α π
α = + ⇒ = +
= e quindi quando 2 2 e
seno, essa è massima quando sin 2 1 k k
2 4
π π
⎛ ⎞
α α
∈ =
⎜ ⎟ in corrispondenza del quale la base del
il valore accettabile è
0
,
per 2 4
⎝ ⎠ 2
=
= cui corrisponde un’ area massima unitaria.
rettangolo vale e l’altezza
2
FG HG 2
• Uso della geometria elementare e dell’analisi
Si consideri la figura sottostante: = < <
. La limitazione geometrica impone . Con
Poniamo la base del rettangolo 2 0 1
FG x x
( ) ( )
= − = + , per cui per il teorema di Euclide
queste assunzioni 1 , 1
AF x FB x
( ) ( ) ( )
= = − ⋅ + = − = −
2 2
1 1 1 . L’area del rettangolo è allora 2 1 e poiché
IF HG x x x S x x x
( )
( ) = −
< < = 2 2
2 . La massimizzazione della funzione area,
si ha da cui 2 1
0 1
x x x S x x x
come già mostrato, può essere effettuata tramite le derivate; non seguiremo questa strada ma
( )
( ) = −
2 2
2 1 è equivalente a
mostreremo una strada alternativa. Massimizzare S x x x 6
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( )
( ) ( )
= −
2 2
massimizzare la funzione radicando 1 ; la funzione è il prodotto di due
r x x x r x
( )
+ − =
2 2
1 1 ) per cui il loro prodotto è massimo
numeri a somma costante (e pari a 1: x x ( ) 2
1 = ±
= −
2 2 ; la soluzione
e quindi quando 1 da cui
quando i due numeri sono uguali x
x x 2
2
=
negativa va scartata per cui l’area del rettangolo è massima quando e quindi quando
x 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 1 1
2 ⎜ ⎟ = − =
= = ⎜ ⎟
2 1 1
2 , e vale .
S
FG IG ⎜ ⎟
2 2 2 2
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Punto 3
Si calcoli il volume del solido che ha per base il semicerchio delimitato da Г e tale che tagliato
con piani ortogonali ad AB dia tutte sezioni quadrate.
La semicirconferenza può essere rappresentata in un sistema di riferimento cartesiano con origine
coincidente con il centro della circonferenza stessa. In questo sistema la semicirconferenza ha
( )
( )
= − = −
2 2
1 . In tal modo il quadrato sezione ha area 1 pertanto il volume
equazione y x A x x
1
⎡ ⎤
1 1
( ) ( ) 3 4
x
∫ ∫
= − = − = − =
2 2
1 2 1 2 .
sarà ⎢ ⎥
V x dx x dx x 3 3
⎣ ⎦
−
1 0 0 =
+ =
1 Siano due numeri positivi la cui somma è ed il cui prodotto è . Dalla somma si ricava
x, y xy p
x y s
( )
= − = −
che sostituito nel prodotto fornisce ; pertanto il prodotto è una parabola con concavità verso
y s x p x s x
s s
= =
il basso e con massimo raggiunto per cui corrisponde .
x y
2 2 7
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PROBLEMA 2
Nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali e monometriche:
Punto 1
Si studino e si rappresentino graficamente le funzioni f e g definite per ogni numero reale non
1 1
( ) ( )
= + = −
nullo, rispettivamente, da , e si dica se è vero che la somma di un
f x x g x x
x x
numero positivo e del suo inverso è almeno 2
+
2
1 1
( ) x
= + =
Studiamo la funzione f x x x x
{ }
− 0
Dominio: R cui non ci sono intersezioni con l’asse delle ascisse
Intersezioni asse ascisse: non ci sono intersezioni con l’asse delle ordinate
Intersezioni asse ordinate:
la funzione è dispari
Eventuali simmetrie: +
2 1
( ) ( )
x
= ≥ ⇒ ∈ +∞
0 0
,
f x x
Positività: x + +
2 2
1 1
x x
= +∞ = −∞ =
lim , lim per cui la retta è asintoto verticale
0
Asintoti verticali: x
+ −
→ →
x x
0 0
x x
⎞
⎛ +
2 1
x ⎟
⎜ = ±∞ per cui non esistono asintoti orizzontali
lim
Asintoti orizzontali: ⎟
⎜
→ ±∞ ⎠
⎝ x
x ⎞
⎛ +
2 1
x ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎞
⎛ +
2 1
⎠
⎝ x x ⎟
⎜
= + =
=
=
hanno equazione con e
lim lim 1
y mx q
Asintoti obliqui: m ⎟
⎜ 2
→ ±∞ → ±∞ ⎠
⎝
x x
x x
⎞
⎛ +
2 ⎛ ⎞
1 1
x ⎟
⎜ =
=
= − =
⎜ ⎟ pertanto la retta è asintoto obliquo
lim lim 0 y x
q x ⎟
⎜ ⎝ ⎠
→ ±∞ → ±∞
⎠
⎝ x x
x x −
2 1
x
=
' per cui la funzione è strettamente crescente in
y
Crescenza e decrescenza: 2
x
( ) ( ) ( ) ( )
− ∞ − ∨ +∞ − ∨ = −
, strettamente decrescente in e si annulla in in cui presenta un
, 1 1
, 1
, 0 0
,
1 1
x
( ) ( )
− − =
ed in in cui presenta un minimo
massimo 1
, 2 1 1
, 2
M x m
2
=
' ' per cui la funzione non presenta flessi
y
Concavità e convessità: 3
x
Il grafico è di seguito presentato: 8
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−
2
1 1
( ) x
= − =
Studiamo la funzione g x x x x
{ }
− 0
Dominio: R −
2 1
( ) x
= = ⇒ = ±
0 1
g x
Intersezioni asse ascisse: x
x
non ci sono intersezioni con l’asse delle ordinate
Intersezioni asse ordinate:
la funzione è dispari
Eventuali simmetrie: −
2 1 [ [ [ [
( ) x
= ≥ ⇒ ∈ − ∨ +∞
0 1
,
0 1
,
g x
Positività: x
x − +
2 2
1 1
x x
= −∞ = +∞ =
lim , lim per cui la retta è asintoto verticale
0
Asintoti verticali: x
+ −
→ →
x x
0 0
x x
⎞
⎛ −
2 1
x ⎟
⎜ = ±∞ per cui non esistono asintoti orizzontali
lim
Asintoti orizzontali: ⎟
⎜
→ ±∞ ⎠
⎝ x
x ⎞
⎛ −
2 1
x ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎞
⎛ −
2 1
⎠
⎝ x x ⎟
⎜
= + =
=
=
hanno equazione con e
lim lim 1
Asintoti obliqui: y mx q m ⎟
⎜ 2
→ ±∞ → ±∞ ⎠
⎝
x x
x x
⎞
⎛ −
2 ⎛ ⎞
1 1
x ⎟
⎜ =
= −
= − =
⎜ ⎟ pertanto la retta è asintoto obliquo
lim lim 0 y x
q x ⎟
⎜ ⎝ ⎠
→ ±∞ → ±∞
⎠
⎝ x x
x x +
2 1
x
=
' per cui la funzione è strettamente crescente in tutto il suo
y
Crescenza e decrescenza: 2
x 9
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dominio 2
= −
' ' per cui la funzione non presenta flessi
y
Concavità e convessità: 3
x
Il grafico è di seguito presentato:
La proposizione per cui la somma di un numero reale positivo e del suo inverso è almeno 2 è vera;
1 +
+ ≥ ∀ ∈
2 è soddisfatta .
basta verificare che la disequazione x x R
x ( ) 2
+
∈ − + = − ≥
2
La disequazione, poiché , si può anche scrivere come 2 1 1 0 , e risulta
x R x x x
+
∀ ∈
essere sempre verificata in quanto un quadrato è sempre un numero positivo o al massimo
x R
nullo.
Punto 2
Si calcoli l’area della parte di piano compresa tra i grafici di f e g per 1 2 e disponendo
≤ ≤
x −
2
10
di una calcolatrice elettronica se ne dia un valore approssimato a meno di .
L’area da calcolare è rappresentata nella figura sottostante: 10
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⎡ ⎤
⎞
⎞ ⎛
⎛
2 2
−
+
2 2 [ ]
1 1 2
x x
∫ ∫ 2
⎟
⎟ ⎜
⎜ = = = = ≈
−
= 2 ln 2 ln 2 ln 4 1
.
39 con
L’area da calcolare è ⎢ ⎥
Area dx dx x
⎟
⎟ ⎜
⎜ 1
⎠
⎠ ⎝
⎝ x x x
⎣ ⎦
1 1
un’approssimazione per eccesso.
Punto 3 ⎛ ⎞
1 1 ≠
+ −
⎜ ⎟
,
Sia P un punto del piano di coordinate . Al variare di (t 0) , P descrive un
t t t
⎝ ⎠
t t
luogo geometrico del quale si chiede l’equazione cartesiana e il grafico.
⎧ 1
= +
x t
⎪⎪ t
Imponiamo .
⎨ 1
⎪ = −
y t
⎪
⎩ t + =
Sommando le due equazioni si ricava 2 , mentre sottraendo la seconda alla prima si ricava
x y t
2 2
− = =
. Dalla seconda ricaviamo e lo sostituiamo nella prima ottenendo
x y t −
t x y
⎛ ⎞
2
⎜ ⎟
+ = ⋅ − =
2 2
2 che può essere scritta come 4 che una iperbole equilatera con centro
x y x y
⎜ ⎟
−
⎝ ⎠
x y = ± .
di simmetria (0,0) ed asintoti y x 11
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QUESTIONARIO
Quesito 1
Una strada rettilinea in salita supera un dislivello di 150m con un percorso di 3km. Quale è la
sua inclinazione?
Consideriamo la figura sottostante:
Per ipotesi AB=3 km, BC=150m.
= − ≅
2 2
Per il teorema di Pitagora 3000 150 2996
, 25 , per cui la percentuale di inclinazione
AC m ⎛ ⎞
150 150
α ≅ °
= ≅ = ⎟
⎜
arctan
è 5
% , mentre l’angolo di inclinazione vale 2 51
'
57 ' ' .
p % 2996
, 25 2996
, 25
⎝ ⎠
Quesito 2
Si provi che fra tutti i cilindri inscritti in un cono circolare retto ha volume massimo quello la
cui altezza è la terza parte dell’altezza del cono
Consideriamo la figura seguente in cui è rappresentata la sezione del cono con il cilindro
all’interno: 13
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= = = =
l’altezza del cilindro, con l’altezza del cono, con
Indichiamo con DG KH EF x HC h
= = = = = =
il raggio di base del cono e con il raggio di base del
'
AH HB r HG HF DK KE r
< <
cilindro. La limitazione geometrica impone .
0 x h
I triangoli ADG e ACH sono simili per cui vale la proporzione tra i lati omologhi:
⎛ ⎞
( ) x
= ⇒ − = ⇒ = −
⎜ ⎟
: : ' : : ' 1 . Il volume del cilindro, quindi, sarà:
AG GD AH HC r r x r h r r ⎝ ⎠
h ⎤
⎡
2 2
⎛ ⎞
⎛ ⎞
x x
π π π
⋅ = ⋅ ⋅ −
= ⋅ ⋅ = ⋅ −
2 2 2 ⎜ ⎟
⎜ ⎟
1 1 . La massimizzazione del volume la
⎥
⎢
V HF KH r x r x ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎥
⎢
h h ⎦
⎣
effettuiamo tramite il calcolo della derivata prima, ottenendo:
⎤
⎡ 2 ⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞ 2 3
x x x x x
π π ⋅ −
= ⋅ ⋅ −
− −
= ⋅ ⋅ −
2 2 ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟ per cui, tenendo conto della
' 1 1 1 1
⎥
⎢
V r r ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎥
⎢ h h h h h
⎦
⎣ ⎛ ⎞
h
< < ⎜ ⎟
, la funzione volume è strettamente crescente in
limitazione 0
, , strettamente
0 x h 3
⎝ ⎠
π ⎞
⎛ 2
⎛ ⎞ 4
h h h r h ⎟
⎜
=
⎜ ⎟
, e si annulla in . Quindi il
in cui presenta un massimo
decrescente in ,
h x M ⎟
⎜
3 3
⎝ ⎠ 3 27 ⎠
⎝
