2009 - liceo scientifico di ordinamento

Sessione ordinaria 2008 – 2009 liceo di ordinamento

QUESTIONARIO ( )

1. Si trovi la funzione la cui derivata è e il cui grafico passa per il punto (0, 2).

f x sin x

{ } { }

= =

A 1

, 2

,

3

, 4 B a , b , c

2. Sono dati gli insiemi e Tra le possibili (o ) di in

applicazioni funzioni A

, ce ne sono di ? Di ? Di ?

B suriettive iniettive biiettive = + + −

3 2

la curva d’equazione 3 4 ha una sola tangente

3. Per quale o quali valori di k y x kx x

orizzontale? . Si dica se questa affermazione è

4. “Esiste solo un poliedro regolare le cui facce sono esagoni”

vera o falsa e si fornisca una esauriente spiegazione della risposta.

5. Si considerino le seguenti espressioni: 0 0 1 0

; ; ; 0

1 0 0

A quali di esse è possibile attribuire un valore numerico? Si motivi la risposta.

+

2 1

x

lim

6. Si calcoli: x

→ −∞

x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −

n n n k

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

Si dimostri l’identità con e naturali e

n k n > k.

7. =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+ +

1

k k 1

k

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8. Si provi che l’equazione: + + =

2009

x 2009 x 1 0

ha una sola radice compresa fra –1 e 0.

9. Nei “Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a

, Galileo Galilei descrive

due nuove scienze”

la costruzione di un solido che chiama scodella

considerando una semisfera di raggio e il cilindro ad essa

r

circoscritto. La si ottiene togliendo la semisfera

scodella

dal cilindro. Si dimostri, utilizzando il principio di

, che la ha volume pari al cono di vertice

Cavalieri scodella

V in figura. ( ) =

f x cos 5 x

10. Si determini il periodo della funzione

____________________________

Durata massima della prova: 6 ore.

È consentito l’uso della calcolatrice non programmabile.

Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.

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PROBLEMA 1

E’ assegnato il settore circolare AOB di raggio r e ampiezza x (r e x sono misurati,

rispettivamente, in metri e radianti ).

Punto 1

Si provi che l’area S compresa fra l’arco e la corda AB è

1

( ) ( )

= −

2 sin

S x r x x con

espressa, in funzione di x, da 2

[ ]

π

∈

x 0

, 2

Indichiamo con:

( )

1. S A

O

B l’area del settore circolare di raggio r ed ampiezza x;

A

O

B

( ) = =

l’area del triangolo isoscele di lati ed angolo tra essi x

2. AOB AO OB

S AOB r

Differenziamo i casi in cui l’ampiezza del settore circolare x è un angolo concavo o convesso.

( )

( ) ( )

( )

π = −

≤ ≤

Angolo x convesso : in tal caso l’area S x S A

O

B S AOB

a. ;

0 x

( )

( ) ( )

( )

π π

≤ ≤ = +

2

x

Angolo x concavo : in tal caso l’area S x S A

O

B S AOB

b. .

( ) ⋅

2

r x

=

S A

O

B , mentre l’area del

L’area di un settore circolare di raggio r ed ampiezza x è 2

triangolo , conoscendo due lati e l’angolo compreso, è pari a

AOB ( )

⎧ ⋅

2 sin

r x π

≤ ≤

se 0 x

⎪

⎪ 2

( ) = .

AOB

S ⎨ ( ) ( )

π

⋅ − ⋅

2 2

sin 2 sin

r x r x

⎪ π π

= − ≤ ≤

se 2

x

⎪

⎩ 2 2

Quindi ( )

⎧ ⋅ ⋅

2 2

r x r x

sin π

− ≤ ≤

( ) se 0 x

⎪

( )

⎧ π

− ≤ ≤

S A

O

B S AOB se 0 x 2 2

⎪

⎪

( ) ( )

= ⇒ = ⇒

S x S x ⎨

⎨

( ) ( )

( ) ⎞

⎛

⋅ ⋅

2 2

π π

⎪⎩ r x r x

sin

+ ≤ ≤

S A

O

B S AOB se x 2 ⎪ π π

⎟

⎜ ≤ ≤

+ − se x 2

⎟

⎜

⎪ 2 2 ⎠

⎝

⎩

( )

⎧ ⋅ ⋅

2 2

r x r sin x π

− ≤ ≤

se 0 x

⎪ ( )

⋅ ⋅

2 2

⎪ r x r sin x 1

2 2

( ) ( ) ( )

⇒ = ⇒ = − = −

2

S x S x r x sin x

⎨ ( )

⋅ ⋅ 2 2 2

2 2

r x r sin x

⎪ π π

− ≤ ≤

se x 2

⎪

⎩ 2 2

[ ]

π

∈

con .

0

, 2

x

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Punto 2

Si studi come varia S(x) e se ne disegni il grafico (avendo posto r = 1).

1 [ ]

( ) ( ) π

= − ∈

La funzione da studiare è S x x sin x in .

0

, 2

x

2

[ ]

π

Dominio: 0

, 2 ( )

− = =

Intersezione asse delle ascisse: l’equazione ha un’unica soluzione . Infatti la

sin 0

x x x 0

1 [ ]

( ) ( ) ( )

π

= −

S x x sin x è strettamente crescente in in quanto la sua derivata è

funzione 0

, 2

2

1 [ ]

( ) ( )

= −

S ' x 1 cos x .

2 ( )

Intersezione asse delle ordinate: 0

,

0

Positività: la funzione è positiva in tutto il dominio in quanto la funzione è strettamente crescente e

( ) ( )

π π

= = > ; in altro modo la bisettrice del primo e terzo quadrante di equazione

0 0

, 2 0

S S

= =

y x y sin x

sta sempre al di sopra della funzione ,

Asintoti verticali: non esistono visto il dominio della funzione

Asintoti orizzontale: non ha senso calcolarli in quanto il dominio di studio è limitato

Asintoti obliqui: non ha senso calcolarli in quanto il dominio di studio è limitato

1 [ ]

( ) ( )

= −

S ' x 1 cos x per cui la funzione è strettamente crescente in

Crescenza e decrescenza: 2

( ) ( ) ( )

π

π π π

= =

x 0

, x 2

e si annulla in . Inoltre è un minimo assoluto e è un massimo

0

, 2 0

,

0 2 ,

assoluto. ( )

sin x

( ) ( ) ( )

π π π

=

Flessi: S ' ' x per cui in la funzione volge la concavità verso l’alto e in verso

0

, , 2

2 π

⎛ ⎞

π

⎜ ⎟ è flesso a tangente obliqua.

,

il basso per cui 2

⎝ ⎠

Il grafico è sotto presentato:

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Punto 3 2

. Si trovi il valore di r per il quale è minimo il

Si fissi l’area del settore AOB pari a 100 m

perimetro di AOB e si esprima il corrispondente valore di x in gradi sessagesimali (è

sufficiente l’approssimazione al grado).

( ) ( )

⋅ ⋅

2 2

r x r x

= = =

L’area del settore è per cui imponendo A

O

B 100 si ricava

A

O

B

S S

A

O

B 2

2

200 200 [ ]

( ) π

= + = +

= ∈

A

O

B 2 2 2 . Poiché

. Il perimetro del settore è si ha che

p r r rx r

x 0

, 2

x

2 r

r

10

≥ . Cercheremo il perimetro minimo mediante lo studio della derivata. La derivata prima di

r π ⎡ ⎡

10

200 200

( ) ( )

= + = − ,

10

2 2 è 2 ' 2 che è strettamente decrescente in e strettamente

p r

p r r ⎢ ⎢

π

2

r r ⎣ ⎣

2

400

( ) ( )

( )

+∞ = = >

crescente in . Inoltre la derivata seconda è e per cui si ha il

10

, p r p

2 ' ' 10

2 ' ' 0

3 5

r 200

( ) = +

= p r r

perimetro minimo per 2 2

. Alternativamente il perimetro è espresso come

r 10 r

⎞

⎛ 200

⋅ = ⎟

⎜

somma di due numeri positivi a prodotto costante 2 r 400 per cui esso è minimo quando i

r ⎠

⎝

200 = ±

= da cui , scartando la soluzione negativa

due addendi coincidono e quindi quando r 10

2 r r

=

si ritrova che il perimetro è minimo per .

r 10 [ ] °

° ⋅

200 x rad

180 360

[ ]

= = = ≅ °

° =

x .

x 2 rad da cui 115

In corrispondenza si ha [ ]

π π

100 rad

Punto 4 π

= =

r 2 x

Sia e . Il settore AOB è la base di un solido W le cui sezioni ottenute con piani

3

ortogonali ad OB sono tutte quadrati. Si calcoli il volume di W.

Rappresentiamo il settore circolare in un sistema di riferimento con origine coincidente con O e

π

⎛ ⎞

= ⋅ =

⎟

⎜

y x tan x 3 per

raggio OB sull’asse delle ascisse. In questo caso la retta OA ha equazione 3

⎝ ⎠

[ ]

[ ] = −

∈ ∈

2

; l’arco di settore circolare sarà rappresentato da y 4 x per . In questo modo

x 0

,

1 x 1

, 2

⎧ ≤ ≤

3 se 0 1

x x

⎪

( ) =

il lato del quadrato sezione è cui corrisponde l’area del quadrato

L x ⎨

⎪⎩ − ≤ ≤

2

4 se 1 2

x x

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⎧ ≤ ≤

2

x x

3 se 0 1

⎪

( ) ( )

= =

2

A x L x . Il volume sarà allora pari alla somma dei due volumetti

⎨

⎪⎩ − ≤ ≤

2

x x

4 se 1 2

componenti e cioè 2

⎡ ⎤

[ ]

2

1 ⎡ ⎤

( ) 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

8 1 7 8

x

1

∫ ∫ = − =

= + − = + − = + − − −

3

2

2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

3 4 4 1 8 4 5

V x dx x dx x x

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

0 3 3 3 3 3

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦

⎣ ⎦

1

0 1

PROBLEMA 2

Nel piano riferito a coordinate cartesiane, ortogonali e monometriche, si tracci il grafico G

f

( ) =

f x log x

della funzione (logaritmo naturale)

Punto 1

Sia il punto d'intersezione con l’asse della tangente a in un suo punto Sia il punto

A y G P. B

f

d’intersezione con l’asse della parallela per all’asse . Si dimostri che, qualsiasi sia il

y P x P,

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segmento ha lunghezza costante. Vale la stessa proprietà per il grafico della funzione

AB G

g

( ) =

g x log x con reale positivo diverso da 1?

a

a ( )

( ) =

Un generico punto P appartenente alla curva di equazione ha coordinate . La

f x log x P t , ln t

1

( ) ( ) ( )

( ) = =

= − + m f ' t

in ha equazione con per cui l’equazione

tangente a , ln ln

f x P t t y m x t t t

1 ( ) ( )

= − + −

della tangente è y x t ln t . Di conseguenza le coordinate di A sono mentre le

0

, ln 1

A t

t ( )

( ) = − − =

0

, ln . Il segmento ha lunghezza AB ln t ln t 1 1

coordinate di B sono B t AB ed è

( ) .

costante al variare di , ln

P t t ⎛ ⎞

t t

ln ln

( )

( ) = = − +

⎜ ⎟

P t y m x t

g x x

log il punto P ha coordinate con

Se , e la tangente è

a a a

ln ln

⎝ ⎠

t

1 1 ln

( )

( )

= = = − +

da cui . Quindi i punti A e B avranno coordinate

y x t

m g t

' ⋅ ⋅

a t a

a t

ln ln ln

( )

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

t t

ln 1 ln t t

ln ln 1 1

= − =

A B

0, , 0, per cui : anche in tal caso al variare di

AB

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

a a

ln ln

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a a a

ln ln ln

> ∧ ≠ il segmento AB ha lunghezza costante che dipende da a.

a 0 a 1

Punto 2

Sia δ l’inclinazione sull’asse della retta tangente a nel suo punto di ascissa 1. Per quale

x G

g

valore della base è δ = 45°? E per quale valore di è δ = 135°?

a a ( )

−

x 1

=

G

La retta tangente a nel suo punto di ascissa 1 ha equazione per cui il coefficiente

y

g a

ln

1

= > ∧ ≠

m . Il valore di per cui la retta tangente ha inclinazione δ = 45° si

angolare è 0 1

a a

a

ln 1 ( )

= ° =

m sia pari a e cioè

ricava imponendo che il coefficiente angolare tan 45 1

a

ln

= ⇒ = .

ln 1

a a e

> ∧ ≠

Il valore di per cui la retta tangente ha inclinazione δ = 135° si ricava imponendo che

0 1

a a 1

1 ( )

= = − ⇒ =

° = −

m a a

ln 1

sia pari a e cioè .

il coefficiente angolare tan 135 1

a e

ln

Punto 3

Sia D la regione del primo quadrante delimitata dagli assi coordinati, da e dalla retta

G

f

=

y 1

d’equazione . Si calcoli l’area di D.

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= =

y 1

La retta di equazione interseca la curva logaritmica in . L’area da calcolare

log ,

1

f x x e

è rappresentata in grigio chiaro nella figura seguente:

Tale area è calcolabile come differenza tra l’area del rettangolo di altezza unitaria e base e l’area

e

e

[ ] ∫

= ⋅ −

. Cioè

in grigio scuro sottesa dalla curva logaritmica in S e 1 ln xdx . Attraverso

1

, e 1

[ ] [ ]

( ) ( ) ( )

e

= − − = − − − = −

l’integrazione per parti si ha .

S e x ln x 1 e 0 1 e 1

1 ( ) =

Alternativamente si puo calcolare l’area richiesta utilizzando l’inversa della e cioè

f x log x

[ ]

1

( ) 1

∫

= = = = −

y y y

g y e , per cui .

S e dy e e 1

0

0

Punto 4

Si calcoli il volume del solido generato da D nella rotazione completa attorno alla retta

d’equazione =−1.

x = +

⎧ X x 1

G ( )

v 1

, 0

Effettuiamo innanzitutto una traslazione di vettore , cioè una trasformazione , in

⎨ =

Y y

⎩

= − =

in . Il tal modo nel nuovo sistema di riferimento

modo da portare la retta di equazione x 1 X 0

( ) ( )

= −

la curva logaritmica avrà equazione . Di conseguenza la regione D diventa la

X , Y Y log X 1

seguente:

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Il volume che scaturisce dalla rotazione della regione D intorno all’asse delle ordinate di equazione

= è data dalla rotazione di D∪ R cui va sottratto il volume dovuto alla rotazione del

X 0

rettangolo R. La rotazione del rettangolo R produce un cilindro di altezza e raggio di base unitario

( )

π = −

. La funzione ha come inversa la funzione

cui corrisponde un volume pari a Y log X 1

= +

Y 1

X e per cui il volume ottenuto ruotando la regione di piano D∪ R intorno all’asse delle

1 ⎡ ⎤

⎡ ⎤

1 1 + −

( ) ( ) Y

2 2 4 3

e e e

( ) 2

∫ ∫

π π π π

∪ = + = + + = + + =

Y Y Y Y

2

ordinate è D R 1 2 1 2

V e dY e e dY e Y ⎢ ⎥

⎢ ⎥

2 2

⎣ ⎦

⎣ ⎦

0 0 0

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

+ − + −

2 2

e 4 e 3 e 4

e 5

( ) ( ) ( ) π π π

= ∪ − = − =

per cui .

D D R R

V V V ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

2 2

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

QUESTIONARIO

Quesito 1 ( )

Si trovi la funzione la cui derivata è e il cui grafico passa per il punto (0, 2).

sin x

f x

( )

La funzione è la primitiva di passante per (0,2). In particolare

f x sin x

( ) ∫

= = − + =

f x sin x

dx cos x c ed imponendo il passaggio per (0,2) si ricava da cui

c 3

( ) = −

f x 3 cos x

Quesito 2 { } { }

= =

A 1

, 2

,

3

, 4 B a , b , c

Sono dati gli insiemi e Tra le possibili (o di in

applicazioni funzioni) A