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Svolgimento completo del tema di matematica nella sessione suppletiva indirizzi P.N.I., scientifico autonomia, scientifico e scientifico-tecnologico Brocca, Proteo.
Sessione suppletiva PNI 2008 – 2009 Soluzione a cura di Nicola De Rosa
PROBLEMA1
Si consideri la funzione: ⎧ + <
2
ln 1 se 0
x x
⎪
⎪
( ) = =
0 se 0
⎨
f x x
⎪ ( ) >
arctan sin se 0
⎪ x x
⎩
Punto 1
Si provi che essa è continua, ma non derivabile, nel punto x = 0.
⎧ + <
2
ln 1 se 0
x x
⎪
⎪
( ) = = =
Proviamo che la funzione calcolando i limiti
è continua in
0 se 0 0
⎨
f x x x
⎪ ( ) >
arctan sin se 0
⎪ x x
⎩ ( ) ( )
±
→ + = = = =
2
per 0 . Si ha per cui la funzione è
lim ln 1 ln 1 0
, lim arctan sin arctan 0 0
x x x
− +
→ →
0 0
x x ⎧ x <
se 0
x
⎪
⎪ +
2 1
( ) x
=
= '
continua in . La derivata prima è per cui
0 ⎨
f x
x cos x
⎪ >
se 0
x
⎪ +
⎩ 2
1 sin x
cos
x x
= = =
da cui deduciamo la non derivabilità della funzione in . In
lim 0
, lim 1 0
x
+ +
2 2
1 1 sin
− +
→ →
x x
0 0
x x =
conclusione la funzione presenta un punto angoloso in .
0
x
Punto 2
Si studi tale funzione e si tracci il suo grafico γ, su un piano riferito ad un sistema di assi
cartesiani ortogonali (Oxy). Per quel che riguarda le ascisse positive, ci si limiterà
all’intervallo 0 ≤ x ≤ 2π. ( ) = + <
2
Studiamo prima il ramo ln 1 definito per .
0
g x x x
< 0
Dominio: x ( ) = + = ⇒ + = ⇒ =
2 2
ln 1 0 1 1 0 ;
la funzione g x x x x
Intersezione asse delle ascisse: = → =
0 0
Intersezione asse delle ordinate: x y
( ) = + <
2
la funzione ln 1 è positiva in tutto il dominio ;
0
Positività: g x x x
non esistono;
Asintoti verticali: ( ) = +∞ per cui non esistono asintoti orizzontali;
lim
Asintoti orizzontale: g x
→ −∞
x non esistono in quanto
Asintoti obliqui: ( )
( ) + + ∞
2 2
ln 1 1 ln 1
g x x x x
= = = ⎯
⎯ ⎯ ⎯
⎯
→ =
De L'
Hospital ;
lim lim lim f.i lim 0
∞ +
2
2 1
→ −∞ → −∞ → −∞ → −∞
x x x x
x x x x
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Sessione suppletiva PNI 2008 – 2009 Soluzione a cura di Nicola De Rosa
( ) x
=
' per cui la funzione è strettamente decrescente in tutto il
Crescenza e decrescenza: g x +
2 1
x
< ;
dominio 0
x ( )
− 2
1
( ) ( ) ( )
x
= − − ∞
' ' 1
, 0 ,− 1
per cui in la funzione volge la concavità verso l’alto e in
g x
Flessi: ( )
2
+
2 1
x ⎛ ⎞
ln 2
= −
⎜ ⎟
1
, è un flesso a tangente obliqua.
verso il basso per cui F 2
⎝ ⎠ [ ]
( ) ( ) π
= >
Studiamo il ramo definito per in .
arctan sin 0
, 2
0
h x x x
> 0
Dominio: x ( ) ( ) π π
= ⇒ = ⇒ = = = ;
arctan sin sin 0 0
, , 2
h x x x x x x
Intersezione asse delle ascisse: = → =
0 0
x y
Intersezione asse delle ordinate:
( ) ( ) ( )
π
= > ⇒ > ⇒ ∈ ;
arctan sin 0 sin 0 0
,
Positività: h x x x x
non esistono;
Asintoti verticali: non esistono asintoti orizzontali in quanto la funzione seno è una funzione
Asintoti orizzontale:
limitata; non esistono in quanto la funzione seno è una funzione limitata;
Asintoti obliqui: cos
( ) x
=
' per cui la funzione è strettamente crescente in
h x
Crescenza e decrescenza: + 2
1 sin x π π
π π
⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎞
⎛
3 3
π
∪ ⎜⎝ ⎟⎠
0
, , 2 e strettamente decrescente in ;
,
⎢⎣ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎥⎦
2 2 2 2
( )
− − 2
sin 3 sin
( ) ( )
x x π π
= per cui in la funzione volge la concavità verso l’alto e in
, 2
' '
h x
Flessi: ( )
2
+
2
sin 1
x
( ) ( )
π π
=
verso il basso per cui è un flesso a tangente obliqua. Inoltre
0
, , 0
F
1
π π π π π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 3 1 3
= − < = > = = −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
' ' 0
, ' ' 0 per cui è un massimo relativo e è
, ,
h h M m
2 2 2 2 2 4 2 4
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
un minimo relativo.
Il grafico di seguito:
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Punto 3
Si calcoli l’area della superficie piana, situata nel II quadrante, delimitata dalla curva γ,
dall’asse x e dalla retta di equazione x = -1.
L’area è raffigurata in grigio di seguito.
0 0 ( )
1
∫ ∫
= + = +
2 2
Tale area vale ln 1 ln 1 . Applicando l’integrazione per parti si ha
S x dx x dx
2
− −
1 1
( ) ( ) 2
x
∫ ∫
+ = + − =
2 2
ln 1 ln 1 2 dx
x dx x x +
2 1
x
( ) ( )
⎛ ⎞
1 ( )
∫
= + − − = + − + +
2 2
⎜ ⎟
ln 1 2 1 ln 1 2 2 arctan
x x dx x x x x k
+
2
⎝ ⎠
1
x
per cui π π
[ ]
0 ⎡ ⎤ + −
( ) ( ) ⎞
⎛
1 1 1 2 ln 2 4
( ) 0
∫ =
= + = + − + = − − + −
2 2 ⎟
⎜
ln 1 ln 1 2 2 arctan 0 ln 2 2 .
⎢ ⎥
S x dx x x x x −
1
2 2 2 2 4
⎠
⎝
⎣ ⎦
−
1
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Punto 4
Utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati, si calcoli un valore
approssimato dell’area della superficie piana, delimitata dall’asse delle x e dall’arco di γ i cui
estremi hanno ascisse 0 e π. π
[ ]
π
Scegliamo di suddividere l’intervallo in 4 intervallini di ampiezza . Ponendo
0
, 4
( ) ( )
= ed applicando il metodo di cavalieri Simpson, si ha:
arctan sin
g x x ( ) ( )
π π ⎫
⎧ +
− ⎡ ⎤
⎛ ⎞
0 4 2
[ ]
g x g x
( ) ( ) ( ) ( )
∫ ≅ =
⋅ + ⋅ + + ⋅
0 4
⎜⎝ ⎟
arctan sin ⎬
⎨
x dx g x g x g x
⎢ ⎥ 1 3 2
4 3 3 3
⎠ ⎦
⎣ ⎭
⎩
0 ( ) ( )
⎧ ⎫
π π π π π
⎡ ⎤
+
⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0 4 3 2
g g
= ⋅ + ⋅ + + ⋅ =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎨ ⎬
⎢ ⎥
g g g
⎢ ⎥
4 3 3 4 4 3 2
⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦
⎩ ⎭
⎤
⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
π π π π
+ 2
⎛ ⎞
0 0 4 2 2 2 2 2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = + ≅
= ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⎥
⎢ ⎜ ⎟
arctan arctan arctan 1
, 70
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
4 3 3 2 2 3 4 3 2 24
⎝ ⎠ ⎥
⎢ ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎦
⎣ ( )
5
− [ ]
( )
b a π
=
≤ ⋅ max in . In questo caso in
con un errore commesso , con 0
,
IV
M g x
M
e 4
180 n 15
[ ] ( )
π = =
il massimo per cui l’errore è
0
, max IV
M g x 2
( ) π π
5
− 5 5
15
b a
≤ ⋅ = ⋅ = ≅ 0
,
05 . Infatti il valore fornito da un qualsiasi software
e M
4 46080 2 6144
180 n
per l’integrale è 1,69058 che differisce da quello ottenuto per integrazione numerica 1,70 per
meno di 0,05.
PROBLEMA2
Si consideri la funzione: ( ) a b
= + +
2
f x ( )
+ 2
+
1 1
x x
Punto 1
Si determinino le costanti a e b in modo che risulti:
2
3 ⎛ ⎞
10 5
( )
∫ = − ⎜ ⎟
6 ln
f x dx 3 3
⎝ ⎠
0
Calcoliamo l’integrale definito. Si ha:
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2 2 2
⎡ ⎤
3 3 ⎡ ⎤
( ) a b b 3
∫ ∫
= + + = + + − =
2 2 ln 1
⎢⎣ ⎥⎦
f x dx dx x a x
⎢⎣ ⎥⎦
( )
+ +
2
+
1 1
1
x x
x 0
0 0
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
4 5 3 4 5 2
[ ]
b b
= + − − − = + +
⎟ ⎜ ⎟
⎜
ln ln
⎢ ⎥
a b a
3 3 5 3 3 5
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦
2 = −
⎧ 6
a = −
⎧ 6
⎪
3 ⎞
⎛ ⎞ ⎛
4 5 2 10 5 a
( ) b
∫ ⇒
= + + = −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Imponendo si ricava per cui
ln 6 ln ⎨ ⎨
4 2 10
f x dx a b =
+ = 5
3 3 5 3 3
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩
b
⎪⎩
0 3 5 3
− +
2
6 5 2 2 1
( ) x x
= − + =
2
f x ( ) ( )
+ 2 2
+
+
1 1 1
x x x
Punto 2
Si studi la funzione così ottenuta e se ne tracci il grafico γ.
− +
2
2 2 1
( ) x x
=
Studiamo la funzione f x ( ) 2
+ 1
x
{ }
−
/ 1
Dominio: R − +
2
2 2 1
( ) x x
=
la funzione non interseca mai l’asse delle
Intersezione asse delle ascisse: f x ( ) 2
+ 1
x
ascisse in quanto il numeratore è un fattore sempre positivo;
= → =
0 1
x y
Intersezione asse delle ordinate: − +
2
2 2 1
( ) { }
x x
= −
la funzione è positiva in tutto il dominio / 1
Positività: f x R
( ) 2
+ 1
x
− +
2
2 2 1 5
x x = = +∞ = −
lim per cui è asintoto verticale
1
Asintoti verticali: x
( ) +
2
+ 0
± 1
→ − 1 x
x − +
2
2 2 1
( ) x x = =
= 2 per cui 2 è asintoto orizzontale destro e
lim lim y
Asintoti orizzontale: f x ( ) 2
+ 1
→ ±∞ → ±∞
x x x
sinistro; non esistono in quanto esiste l’asintoto orizzontale e per funzioni razionali fratte la
Asintoti obliqui:
presenta dell’asintoto orizzontale esclude la presenza di quello obliquo e viceversa;
( )
−
2 3 2
( ) x
=
' per cui la funzione è strettamente crescente in
Crescenza e decrescenza: f x ( )
3
+ 1
x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 2 2
( )
− ∞ − ∪ +∞ − =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
, 1 , , strettamente decrescente in 1
, e si annulla in .
x
3 3 3
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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( )
− ⎛ ⎞
3
6 3 2
( ) ( )
x
= − ∞ − ∪ −
⎜ ⎟
' ' , 1 1
, la funzione volge la concavità verso l’alto e
per cui in
f x
Flessi: ( ) 4
+ 2
⎝ ⎠
1
x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
3 3 2
+∞ =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
in , verso il basso per cui , è un flesso a tangente obliqua. Inoltre
F
2 2 5
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎛ ⎞ 2 1
2 162 =
= > ⎜ ⎟
⎜ ⎟ , è un minimo relativo ed assoluto.
' ' 0 per cui m
f 3 5
3 125 ⎝ ⎠
⎝ ⎠
Il grafico è sotto presentato:
Punto 3
Si conduca la tangente a γ nel punto di ascissa x = 0 e si calcoli l’area del triangolo che essa
determina con i due asintoti. ( )
( ) = + = = −
Il punto ad ascissa nulla è e la tangente in esso ha equazione 1 con
0
,
1 ' 0 4
y mx m f
= − + . L’area da calcolare è raffigurata in grigio di seguito.
per cui la tangente ha equazione 4 1
y x
I vertici del triangolo sono dati da:
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( )
= − 1
, 2
A = − +
⎧ 4 1
y x ( )
⇒ = −
: 1
,
5
⎨
B B
= − 1
⎩ x = − +
⎧ 4 1 ⎞
⎛ 1
y x ⇒ = − ⎟
⎜
: , 2
⎨
C C
= 2 4 ⎠
⎝
⎩ y ⋅ 3 9
AB AC
= = = =
L’area è per cui
dove AB 3
, AC
S S
2 4 8
Punto 4
La retta y = k incontri γ in due punti di ascissa e . Si esprimano, in funzione di k, la
x x
1 2
somma e il prodotto di tali ascisse. Si dimostri che la quantità
1 1
= +
S + +
1 1
x x
1 2
è indipendente dal valore di k e se ne calcoli il valore.
⎧ − +
2
2 2 1
( ) x x
=
⎪ f x ( ) 2
+
Studiamo le soluzioni del sistema . Si ha:
⎨ 1
x
⎪ =
⎩ y k
− +
2
2 2 1 ( ) ( ) ( )
x x = → − + + + − =
2
2 2 1 1 0 Le soluzioni sono reali e distinte se
.
k k x x k k
( ) 2
+ 1
x
Δ
⎧ ( ) ( )( )
2
= + − − − = − >
1 2 1 5 1 0
⎪ ⎞
⎛ 1
k k k k ( )
⇒ ∈ ∪ +∞
⎜ ⎟
, 2 2
, e in tal caso sono
⎨ 4 k 5
⎝ ⎠
⎪⎩ − ≠
2 0
k ( ) ( )
− + + − − + − −
1 5 1 1 5 1
k k k k
= =
, .
x x
1 2
− −
2 2
k k
Ora ( )
− + + − − −
1 5 1 5 1 3
k k k
+ = + =
1 1
x
1 − −
2 2
k k
( )
− + − − − − −
1 5 1 5 1 3
k k k
+ = + =
1 1
x 2 − −
2 2
k k
da cui ( ) ( )
( )
− − − + − +
1 2 2 5 1 3 5 1 3
k k k k
= = =
( )
+ −
− −
1 5 2 5
5 1 3
x k
k
1 ( ) ( )
( )
− − − − + − − +
1 2 2 5 1 3 5 1 3
k k k k
= = =
( )
+ −
− − −
1 5 2 5
5 1 3
x k
k
2 1 1 6
= + = .
per cui S + +
1 1 5
x x
1 2
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( )
+ +
2
1 1 1 1 x x
= + = + = 1 2 .
come
Alternativamente scriviamo S S ( )
+ + + + + ⋅
+ +
1 1 1 1 1
x x x x x x x x
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( )
− + + + − =
2
La somma e il prodotto delle radici dell’equazione 2 2 1 1 0 sono
k x x k k
( )
+ −
2 1 1
( ) k k
+ = ⋅ =
rispettivamente per cui
,
x x x x
1 2 1 2
− −
2 2
k k
( )
+ − + +
2 1 4 2 2 2 6
k k k
+
2
( )
+ +
2 6
− − −
x x 2 2 2
k k k
= = = = =
1 2 .
S ( )
( ) + − − + + − +
+ + + ⋅ 2 1 1 2 2 2 1 5
1 5
k k k k k
x x x x + +
1
1 2 1 2 − − − −
2 2 2 2
k k k k
QUESTIONARIO
Quesito 1
Nel gioco del lotto, qual è la probabilità dell’estrazione di un numero assegnato? Quante
estrazioni occorre effettuare perché si possa aspettare, con una probabilità p = 1/2 assegnata,
di vederlo uscire almeno una volta? 1
=
La probabilità che esca un numero assegnato nel gioco del lotto è . Definiamo l’evento A
p 90
{ }
≡
nel seguente modo: ; la probabilità
A in N estrazioni esce almeno una volta un numero assegnato
{}
−
1 Pr A . La probabilità dell’evento A , cioè la probabilità che in N estrazioni
dell’evento A è data {} {}
N N
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
89 89
{ }
= = − = −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
non esce mai il numero assegnato, è Pr A per cui Pr A 1 Pr A 1 .
90 90
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
N
⎛ ⎞
89 1
{ } = − ≥
⎜ ⎟
Pr A 1 si ricava
Imponendo 90 2
⎝ ⎠
⎛ ⎞
1
⎜ ⎟
ln
N
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
89 1 89 1 2
⎝ ⎠
≤ ⇒ ⋅ ≤ ⇒ ≥ ≅ ⇒ =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ .
ln ln 62
, 03 63
N N N
⎛ ⎞
89
90 2 90 2
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎜ ⎟
ln 90
⎝ ⎠
Quesito 2
Sul diametro MN di un cerchio, si considerino due punti P e Q, e su MP, MQ, NP, NQ come
diametri si descrivano quattro semicerchi, i primi due posti in una stessa parte rispetto alla
retta MN, gli altri due posti nell’altra parte. Si dimostri che il perimetro del quadrilatero
curvilineo (pelecoide) così ottenuto, ha la stessa lunghezza della circonferenza data.
Si consideri la figura seguente rappresentante la pelecoide.
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