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Svolgimento compelto del tema di matematica indirizzo pni
Sessione ordinaria sperimentale 2008 – 2009
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO SPERIMENTALE
PIANO NAZIONALE INFORMATICA
Tema di: MATEMATICA
Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.
PROBLEMA 1
Sia f la funzione definita da ⎞
⎛ 2 n
x x
( ) ⎟
⎜ −
= + + + + x
"
f x x e
1 ⎟
⎜ n
2
! ! ⎠
⎝
∈
dove n è un intero positivo e x R n
x
( )
( ) −
= − x
1. Si verifichi che la derivata di è: f ' x e
f x n
!
2. Si dica se la funzione f ammette massimi e minimi (assoluti e relativi) e si provi che, quando
n è dispari, f (x) ≤ 1 per ogni x reale.
3.Si studi la funzione g ottenuta da f quando n = 2 e se ne disegni il grafico.
2 ( )
∫
4. Si calcoli e se ne dia l’interpretazione geometrica.
g x dx
0
PROBLEMA 2
In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy , si consideri la funzione f : R → R definita
( ) = +
3
da f x x kx , con k parametro reale.
1. Si dica come varia il grafico di f al variare di k ( k positivo, negativo o nullo).
( ) γ γ
= 3
g x x e il suo grafico. Si dimostri che e la retta d’equazione y = 1− x hanno un
2. Sia
solo punto P in comune. Si determini l’ascissa di P approssimandola a meno di 0,1 con un
metodo iterativo di calcolo.
3. Sia D la regione finita del primo quadrante delimitata da γ e dal grafico della funzione inversa
di g . Si calcoli l’area di D.
4. La regione D è la base di un solido W le cui sezioni con piani perpendicolari alla bisettrice
del primo quadrante sono tutte rettangoli di altezza 12. Si determini la sezione di area massima.
Si calcoli il volume di W.
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QUESTIONARIO b
[ ] ∫
< < ∈ − − = +
2 2
1. Sia e . Si provi che
0 a b x b , b x a dx a b
− b
{ } { }
= =
A 1
, 2
,
3
, 4 B a , b , c
2. Sono dati gli insiemi e Tra le possibili applicazioni (o funzioni) di A
in B, ce ne sono di suriettive? Di iniettive? Di biiettive?
3. Una moneta da 2 euro (il suo diametro è 25,75 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto
con mattonelle quadrate di lato 10 cm. Quale è la probabilità che la moneta vada a finire
internamente ad una mattonella? (cioè non tagli i lati dei quadrati).
4. “Esiste solo un poliedro regolare le cui facce sono esagoni”. Si dica se questa affermazione è
vera o falsa e si fornisca una esauriente spiegazione della risposta.
5. Si considerino le seguenti espressioni: 0 0 1 0
; ; ;
0
0
1 0
A quali di esse è possibile attribuire un valore numerico? Si motivi la risposta.
6. Con l’aiuto di una calcolatrice, si applichi il procedimento iterativo di Newton all’equazione
= , con punto iniziale 0 = 3. Cosa si ottiene dopo due iterazioni?
x
sin x 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −
n n n k
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Si dimostri l’identità con e naturali e
7. = n k n > k.
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ +
1
k k 1
k
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8. Alla festa di compleanno di Anna l’età media dei partecipanti è di 22 anni. Se l’età media
uomini è 26 anni e quella delle donne è 19, qual è il rapporto tra il numero degli uomini e
quello delle donne?
9. Nei , Galileo Galilei
“Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze”
descrive la costruzione di un solido che chiama scodella
considerando una semisfera di raggio e il cilindro ad
r
essa circoscritto. La si ottiene togliendo la semisfera
scodella
dal cilindro.
Si dimostri, utilizzando il principio di , che la
Cavalieri
ha volume pari al cono di vertice V in figura.
scodella
10. “
Se due punti P e Q del piano giacciono dalla stessa
ˆ
P
A
B e
parte rispetto ad una retta AB e gli angoli
ˆ hanno somma minore di 180°, allora le semirette
O
B
A
AP e BQ, prolungate adeguatamente al di là dei punti
P e Q, si devono intersecare”. Questa proposizione è
stata per secoli oggetto di studio da parte di schiere di
matematici. Si dica perché e con quali risultati.
___________________________
Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito l’uso della calcolatrice non programmabile.
Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.
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PROBLEMA 1
Sia la funzione definita da
f ⎛ ⎞
2 n
x x
( ) ⎜ ⎟ −
= + + + + x
"
1
f x x e
⎜ ⎟
2
! !
n
⎝ ⎠
∈
dove è un intero positivo e x R
n
Punto 1 n
x
( )
( ) −
= − x
f x e
'
Si verifichi che la derivata di è
f x n
!
⎛ ⎞
2 n
x x
( ) ⎜ ⎟ −
= + + + + x
La funzione può essere scritta nel modo seguente:
"
1
f x x e
⎜ ⎟
2
! !
n
⎝ ⎠
i
n x
( ) ∑
−
= ⋅
x
f x e la cui derivata, utilizzando la regola di derivazione del prodotto e sfruttando la
i
!
=
i 0
linearità dell’operatore derivata, è
− −
⋅ ⋅
i i i i
1 1
n n n n
i x x i x x
( ) ∑ ∑ ∑ ∑
− − − −
= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =
x x x x
f x e e e e
' i i i i
! ! ! !
= = = =
i i i i
0 0 1 0
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
− −
⋅ 1 1
i i i i
n n n n
i x x x x
∑ ∑ ∑ ∑ = −
− −
= ⋅ − = − ⎯
⎯
⎯
→
1
k i
x x
e e
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
( )
−
i i i i
! ! 1 ! !
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= = = =
1 0 1 0
i i i i
⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎞
⎛
− k i k n i n
1
n n n n
x x x x x x
( ) ∑ ∑ ∑ ∑
⎟
⎜
− − −
= − − = − ⋅
= −
x x x
f x e e e
' ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎟
⎜
k i k n i n
! ! ! ! ! !
⎣ ⎦ ⎠
⎝
⎣ ⎦
= = = =
0 0 0 0
k i k i
Punto 2
Si dica se la funzione ammette massimi e minimi (assoluti e relativi) e si provi che, quando
f n
è dispari, (x) ≤ 1 per ogni reale.
f x ( ) −
= x
Se n=0 la funzione diventa f x e che è sempre positiva e strettamente decrescente e non
presenta estremi relativi ed assoluti. n
x
( ) −
= − x
La derivata prima della funzione, secondo quanto ricavato al punto 1 è f x e
' e
n
!
n
x
( ) −
− > ∀ ∈
= − ≥ ⇒ ≤ x
x n e 0 x R
f ' x e 0 x 0 in quanto . Ora distinguiamo i casi in cui n è pari o
n
!
dispari: < = ⇒ =
n n
1. n pari: la disequazione x 0 non è mai verificata e x 0 x 0 , quindi la funzione
⎛ ⎞
n
2
x x
( ) ⎜ ⎟ −
= + + + + x è strettamente decrescente in tutto il suo dominio, non
"
1
f x x e
⎜ ⎟
2
! !
n
⎝ ⎠ = .
presenta estremi relativi e presenta un flesso a tangente orizzontale in x 0
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≤ ≤
n
2. n dispari: la disequazione x 0 è verificata per , quindi la funzione
x 0
⎛ ⎞
n
2
x x
( ) ( )
⎜ ⎟ − − ∞
= + + + + x è strettamente crescente in e strettamente
" , 0
1
f x x e
⎜ ⎟
2
! !
n
⎝ ⎠
( )
+∞ =
per cui essa presenta un massimo relativo ed assoluto per e vale
decrescente in 0
, x 0
( ) =
f 0 1 . Poiché il massimo relativo coincide con quello assoluto ed è unitario deduciamo
( ) ≤
che per ogni x reale.
f x 1
Punto 3
Si studi la funzione ottenuta da quando = 2 e se ne disegni il grafico.
g f n
⎛ ⎞
+ +
2
x x
2 2
( ) ⎜ ⎟ −
= x
g x e
⎜ ⎟
2
⎝ ⎠
Dominio: R ( ) −
+ + x
2
Intersezione asse ascisse: non ve ne sono in quanto sia x 2 x 2 che e sono fattori sempre
positivi; = → =
Intersezione asse ordinate: x 0 y 1
Positività: la funzione è sempre positiva in tutto il dominio R
Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto il dominio è tutto R ⎛ ⎞
+ +
2 ⎛ ⎞
2 2 1
x x
⎜ ⎟ = =
⎜ ⎟
Asintoti orizzontali: applicando De L’Hospital 2 volte si ha lim lim 0
⎜ ⎟
x x
⎝ ⎠
2 e e
→ +∞ → +∞
⎝ ⎠
x x
⎛ ⎞
+ +
2
x 2 x 2 ( )
⎜ ⎟ − =
= +∞ ⋅ + ∞ = +∞
x y 0
mentre per cui è asintoto orizzontale destro;
lim e
⎜ ⎟
2
→ −∞ ⎝ ⎠
x ( )
⎡ ⎤
g x [ ]
( )
= = −
= + m lim , q lim g x mx .
Asintoti obliqui: se esistono hanno equazione con
y mx q ⎢ ⎥⎦
x
⎣
→ ±∞ → ±∞
x x
Nel nostro caso
( ) ⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + + +
2 2
⎡ ⎤
g x x 2 x 2 x 2 x 2 ( )
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− −
= = ⋅ = −∞ ⋅ + ∞ = −∞
x x
lim lim e lim lim e mentre
⎢ ⎥
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎢ ⎥
x 2 x 2 x
⎣ ⎦
→ −∞ → −∞ → −∞ → −∞
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x x x x
⎣ ⎦
applicando De L’Hospital 2 volte
( ) ⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎡ ⎤
+ + +
2
⎡ ⎤ 2 2 2 2 1
g x x x x
⎜ ⎟
= = = =
lim lim lim lim 0 per cui non esiste né l’asintoto
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎜ ⎟
⎢ ⎥ ( )
+
x x x
x
⎣ ⎦ 2 2 2
xe x e e
→ +∞ → +∞ → +∞ → +∞
⎣ ⎦
⎝ ⎠
x x x x
⎣ ⎦
obliquo destro né il sinistro; 2
x
( ) −
= − ⋅ x
g ' x e per cui la funzione è strettamente decrescente in R e si
Crescenza e decrescenza: 2
= .
annulla in x 0
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⎛ ⎞
−
2 2 2
x x x
( ) ( ) ( )
⎜ ⎟
− − − − ∞ ∪ +∞
= − ⋅ + ⋅ =
x x x
Flessi: per cui in la funzione volge la
, 0 2
,
' '
g x x e e e ⎜ ⎟
2 2
⎝ ⎠ ⎛ ⎞
+ +
2
x x
2 2
( ) ( ) ⎜ ⎟ −
= x
concavità verso l’alto e in verso il basso. La derivata terza di è
0
, 2 g x e
⎜ ⎟
2
⎝ ⎠
⎞
⎛
⎞
⎛ − +
−
2 2
2 4 2
x x x x
( ) ( ) ( )
⎟
⎜
⎟
⎜
− − − = −
= −
= − −
x x x per cui , quindi la funzione
g ' ' ' 0 1
' ' ' 1
g x e x e e ⎟
⎜
⎟
⎜ 2 2 ⎠
⎝
⎠
⎝ ( ) . Inoltre essa presenta un flesso a tangente obliqua
presenta un flesso a tangente orizzontale in 0
,
1
( ) ( ) ( )
− − − −
= − − + = −
2 2 2 2
2
,
5
e con tangente obliqua di equazione y 2
e x 2 5
e e 9 2 x .
in
Il grafico è sotto presentato:
Punto 4 2 ( )
∫
Si calcoli e se ne dia l’interpretazione geometrica.
g x dx
0 ⎛ ⎞
2 + +
2
x 2 x 2
∫ ⎜ ⎟ −
= x
Poniamo .
S e dx
⎜ ⎟
2
⎝ ⎠
0 ⎛ ⎞
+ +
2 2 2
x x
∫ ⎜ ⎟ − x si ha:
Integrando per parti e dx
⎜ ⎟
2
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + + +
2 2
x 2 x 2 x 2 x 2 ( )
∫ ∫
− − −
= − + + =
x x x
e dx e x 1 e dx
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 2
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + + +
2 2
x 2 x 2 x 2 x 2
( ) ( )
∫
− − − − − −
= − − + + = − − + − =
x x x x x x
e x 1 e e dx e x 1 e e
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 2
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + + +
2 2
x 2 x 2 x 4 x 6
( )
− −
= − + + + = − + ⇒
x x
e x 1 1 e k
⎢ ⎥
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 2
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦
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2
⎡ ⎤
⎛ ⎞
+ +
2
x 4 x 6
− −
= − = − 2
x
S e 3 9
e
⎢ ⎥
⎜ ⎟
2
⎝ ⎠
⎣ ⎦ 0 ⎛ ⎞
+ +
2 2 2
x x
( ) ⎜ ⎟ −
= x
e rappresenta l’area sottesa da nell’intervallo [0,2] i cui estremi sono le
g x e
⎜ ⎟
2
⎝ ⎠
ascisse dei due flessi della curva.
PROBLEMA 2
In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale , si consideri la funzione →
Oxy f : R R
( ) = +
3
f x x kx , con parametro reale.
definita da k
Punto 1
Si dica come varia il grafico di al variare di ( positivo, negativo o nullo).
f k k
( ) ( )
= + =
=
3 3
La funzione f x x kx al variare di k ha come dominio R. Se essa diventa f x x .
k 0
( ) = 3
f x x è definita in R, interseca l’asse delle ascisse e delle ordinate nell’unico punto
La cubica
( ) ( )
+∞
, è positiva in , è strettamente crescente in tutto R e presenta un flesso a tangente
0
,
0 0
,
( ) =
y 0
orizzontale in di equazione . Il grafico segue:
0
,
0 3
x
3
2
1 x
3 2 1 1 2 3
- - - 1
- 2
- 3
-
Studiamo ora i casi in cui k è positivo o negativo:
> ;
1. k 0
<
2. k 0 ( )
= + = + =
> 3 2 3
Se la funzione diventa y x kx x x k che come y x è definita in R, interseca
k 0 ( ) ( )
+∞
0
,
0 0
,
l’asse delle ascisse e delle ordinate nell’unico punto , è positiva in , è strettamente
( ) =
crescente in tutto R e presenta un flesso a tangente obliqua in di equazione y kx . Quindi
0
,
0 ( )
>
l’aggiunta di un termine per comporta che il flesso a tangente orizzontale in si
kx k 0 0
, 0
= =
y kx . Di seguito il grafico per
tramuta in flesso a tangente obliqua di equazione k 1 :
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x x
+
3
2
1 x
3 2 1 1 2 3
- - - 1
- 2
- 3
- ( )
( ) = + = +
< 3 2
Se la funzione diventa f x x kx x x k . Tale funzione presenta tre intersezioni con
k 0 ( )( )
( ) ( )
− − −
0
,
0 , k ,
0 , k ,
0 , è
ed una sola con le ordinate in
l’asse delle ascisse nei punti 0
,
0
( ) ( ) ( ) ( )
− − ∪ − +∞ − ∞ − − ∪ −
positiva in k ,
0 k , e negativa in , k 0
, k , è strettamente crescente
⎛ ⎞ ⎛ ⎛
⎞ ⎞
− − − −
k k k k
⎜ ⎟ ⎜ ⎜
⎟ ⎟
− ∞ − ∪ +∞ −
, , e strettamente decrescente in , , presenta un
in ⎜ ⎟ ⎜ ⎜
⎟ ⎟
3 3 3 3
⎝ ⎠ ⎝ ⎝
⎠ ⎠
⎛ ⎛
⎞ ⎞
− − − −
k 2 k k k 2 k k
⎜ ⎜
⎟ ⎟
− −
, ,
un minimo relativo in e presenta un
massimo relativo in ⎜ ⎜
⎟ ⎟
3 3 3 3 3 3
⎝ ⎝
⎠ ⎠
( ) =
y kx
flesso a tangente obliqua in di equazione . Quindi l’aggiunta di un termine per
0
,
0 kx
( )
< comporta che il flesso a tangente orizzontale in si tramuta in flesso a tangente obliqua
