2010 - Liceo scientifico Americhe, sessione ordinaria

Nicola De Rosa, Liceo scientifico Americhe sessione ordinaria 2010, matematicamente.it

   

    

Quindi la funzione è strettamente crescente in e

, 1 1

,

   

 

strettamente decrescente in e presenta un massimo

1

,

0 0

,

1

   

2 2

     

M 1

, m 1

,

relativo nel punto ed un minimo relativo in ;

   

   

3 3

2



Concavità e convessità: la derivata seconda è per cui la

y ' ' 3

x 3

 



funzione presenta concavità verso l’alto in e verso il basso in

0

,

 

  ; non esistono flessi.

,

0

Il grafico è di seguito presentato:

Alternativamente avremmo potuto trovare il grafico a partire dalla



2

x 1



y

seguente considerazione: la funzione può essere scritta come

x 3

3

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x 1

  da cui deduciamo che il grafico è una iperbole centro

y 3 x 3

  x





, di asintoto verticale ed asintoto obliquo .

0

,

0 y

x 0 3

Punto 2 x



L’angolo formato dall’asintoto obliquo di equazione con l’asse

y 3

 

1

      per cui l’ampiezza degli

arctan 30

delle ascisse è angoli

 

 

3  

        

90 90 30 60

individuati dai due asintoti sono .

 

        

90 90 30 120

Punto 3

Si consideri la figura seguente in cui si è supposto il vertice B del

parallelogramma appartenente all’arco di iperole del primo quadrante:

4

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 



2

t 1

 

B t ,

Il vertice B ha coordinate ; il vertice A dovendo appartenere

 

 

t 3  

x t

  

all’asintoto obliquo di equazione ha coordinate ; la

y A t ,

 

 

3 3



2

t 1 t 1

  

base AB del parallelogramma misura ;

AB 

t 3 3 t 3

l’altezza è data dalla proiezione di B sull’asse delle ordinate e quindi

 . Quindi l’area del parallelogramma sarà

h t

sarà pari a

  1 1

     cioè è costante al variare del

S ABCO AB h t



t 3 3    

vertice B lungo l’iperbole. Il perimetro è invece 2 p t 2

OA 2

AB



2

  2 t

t

    

2

OA t

con , per cui

 

 

3 3  

2

4

t 2 

 se t 0

  



2

4 t

  2 4

t 2 t 3

      

2 p t 2

OA 2 AB .

  

2



3 t 3 t 3 4

t 2

 

se t 0

 

 t 3

 

2

4

t 2 

 se t 0



 2

  t 3

 

2 p ' t

La derivata prima del perimetro è per cui

 2

 2 4

t 

se t 0

 

 2

t 3

 

se t 0

  2

  

2 p ' t 0 t 2

  2

    x

2 p ' t 0 0 t -

0 + 2

2 2

inim

m o

5

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 

se t 0

  2

    

2 p ' t 0 t 0

2 x

  2

    - 0

+

2 p ' t 0 t 2



2 2

inim

m o

Come si nota dal quadro dei segni, il perimetro del parallelogramma

2

 

assume valore minimo in corrispondenza di e vale

t 2

 

1 

 

4 2

   

2 4 6

2

 

   .

2 p  

2 3

  2



3 2

L’assenza del massimo è dimostrata anche dal fatto che

   

  

lim 2 p t lim 2 p t

 

 

t 0 t 0

   

  

lim 2 p t lim 2 p t

 

t t

Alternativamente la presenza del minimo è assicurata dal fatto che la

funzione perimetro ha la stessa forma della funzione di partenza, cioè si

tratta ancora una volta di un’iperbole avente un asinto coincidente con

l’asse delle ordinate e l’altro obliquo passante per l’origine;

6

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Punto 4 

2

x 1

 sono date dall’integrale indefinito

Le primitive di y x 3

 



2 2

x 1 x 1 x 1

 

       .

dx dx ln x C

 

 

x 3 3 x 3 2 3 3

La primitiva passante per il punto (1,0) deve soddisfare la condizione

 

1 1 1

      per cui la primitiva richiesta è

ln 1 C 0 C

2 3 3 2 3



2

  x 1 1

  .

h x ln x

2 3 3 7

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PROBLEMA 2    

E’ dato il fascio di cubiche 3 2

di equazione , dove k

y kx kx 2

kx 1

è un parametro reale non nullo

Si verifichi che tutte le curve del fascio hanno in comune con l’asse

1.

delle y lo stesso punto C, di cui si chiedono le coordinate

2. Si mostri che, qualunque sia il valore di k, la curva corrispondente

l’asse delle

incontra in un sol punto x. Si verifichi altresì che se

P

k

 l’ascissa di è compresa fra -1 e 0.

P

k 1 1 1

 

3. Si disegnino la curva del fascio corrispondente a e la retta t

k 4



tangente a nel punto C 

Si calcoli l’area della regione finita di piano delimitata da

4. , da t e

 

dalla retta di equazione x 2

Punto 1  nell’equazione del fascio otteniamo immediatamente

Ponendo x 0

 , per cui l’unico punto di intersezione con l’asse delle ordinate

y 1  

C 0,1

comune a tutte le cubiche del fascio è .

Punto 2

Innanzitutto valutiamo come si comporta il fascio di cubiche agli

 

x

estremi del dominio di definizione e quindi per :

  



  se k 0

   

3 2 

lim kx kx 2 kx 1   

   se k 0

x   



  se k 0

   

3 2 

lim kx kx 2 kx 1   

   se k 0

x  

   

2

y ' k 3 x 2 x 2

Valutiamo ora la derivata prima del fascio: che al

 

  

k R 0

variare di risulta essere o sempre positiva, se , o

k 0

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

sempre negativa se in quanto il discriminante risulta essere

k 0

 

      

2 .

5

k 0 k R 0

Poiché la generica cubica del fascio assume valori discordi agli estremi

del dominio ed è strettamente crescente o strettamente decrescente, per

 dell’equazione

il teorema di unicità degli zeri esiste un unico zero

 

     

    nell’intervallo

3 2 .

,

k k 2

k 1 0 

Consideriamo il caso particolare ; la cubica corrispondente ha

k 1

   

3 2

equazione ; notiamo che

y x x 2 x 1

   

      per cui l’unico zero apparterrà all’intervallo

y 1 3 0

, y 0 1 0

 

 .

1

,

0

Si ricava il valore approssimato ricorsivamente mediante la formula

      

3 2 3 2

f x x x 2 x 1 2 x x 1

    

n n n n n n

x x x con punto

 

    

n 1 n n 2 2

f ' x 3 x 2 x 2 3 x 2 x 2

n n n n n

 

 

 

x 1 f ' ' x

f x

iniziale in quanto ed sono concordi.

0 0

0

La tabella seguente mostra tutti i passi dell’algoritmo per il calcolo



2

della radice a meno di :

10  

 

n 3 2

x e x x

2 x x 1

 

n n n n n 1

x   

n 1 2

3 x 2 x 2

n n

0 -1,000 -0,571

1 -0,571 -0,412 0,429

2 -0,412 -0,393 0,159

3 -0,393 0,019

-0,393

4 -0,393 0,000   

Il valore approssimato con due cifre decimali esatte è quindi 0

,

39

Punto 3  

 

  

3 2 2

x x x x 1 x 2 x 4

    

y 1

Studiamo la funzione 4 4 2 4

Dominio: R;  

 

  

2

x 1 x 2 x 4

    

y 0 x 1

Intersezione asse ascisse: 4

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 

Intersezione asse ordinate: come ricavato al Punto 1;

C 0,1

Simmetrie: la funzione non è nè pari nè dispari;

 

    

2

Positività: poiché lo studio della positività si

x 2 x 4 0 x R  



riduce allo studio della positività del fattore , per cui

x 1

 

 

  

2

x 1 x 2 x 4

     cioè la funzione è positiva in

y 0 x 1

4

   

   

e negativa in ;

1

, ,

1

Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto il dominio è R;

Asintoti orizzontali: non ve ne sono in quanto

 

3 2

x x x

 

    

lim 1 ;

 

 

 

4 4 2

x

Asintoti obliqui: non esistono in quanto il dominio è R;

Crescenza e decrescenza: come evidenziato nel Punto 2, essendo

1

  la cubica è strettamente crescente in tutto il dominio R;

k 0

4 3 1

 

Concavità e convessità: la derivata seconda è per cui la

y ' ' x

2 2

 

1 

 

verso l’alto in

funzione presenta concavità e verso il basso in

,

 

3

   

1 1 31

 

   

; la curva presenta un flesso a tangente obliqua in .

, F ,

   

3 3 27

x

 

La retta t passante per C e tangente alla cubica ha equazione .

y 1

2

Il grafico della cubica e la retta tangente t sono di seguito presentati

nello stesso riferimento cartesiano: 10

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La curva e la tangente in C si incontrano in un ulteriore punto: infatti

risolvendo l’equazione

3 2 3 2

x x x x x x

           

1 1 0 x 0 x 1 per cui

4 4 2 2 4 4

 

3

 

l’ulteriore intersezione è .

1

,

 

2 11

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Punto 4

L’area da calcolare è raffigurata in grigio di seguito:

L’area richiesta è pari a:

 

   

 

0 0

3 2 3 2

x x x x x x

 

   

        

 

 

S 1 1 dx dx

   

     

2 4 4 2 4 4

 

 

2 2

0

 

4 3

x x 2 5

     

  1

 

16 12 3 3

 2 12

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QUESTIONARIO

Quesito 1 10 x

  . Si trovi l’equazione

Sia il grafico di della retta normale a

y 

2

x 1

 

 nel punto .

2

, 4

La normale nel punto (2,4) è la perpendicolare alla tangente nello stesso

 

  

punto. L’equazione della tangente in (2,4) è y m x 2 4 dove il



coefficiente angolare è pari al valore della derivata prima in ; la

x 2

   

 

  

2 2

10 x 1 10 x 2 x 10 1 x

 

y '

derivata prima è per cui

   

2 2

 

2 2

x 1 x 1

  6

   . L’equazione della normale sarà quindi

m y ' 2 5

   

1 5 5 7

         .

y x 2 4 x 2 4 x

m 6 6 3

Quesito 2

Si determini il cono rotondo di massimo volume inscritto in una sfera di

raggio 30cm

Si consideri la figura a lato rappresentante in C

sezione il cono inscritto nel cerchio. Poniamo

  

HC x 0 x 60

con ; di conseguenza

 

HK 60 x ed applicando il teorema di Euclide

 

2     

AH HC HK x 60 x . Il volume del cono

2

 

 

   

AH HC

    

2

V x x 60 x

è . H

3 3 B A

La massimizzazione del volume la effettuiamo K

mediante derivazione: la derivata prima del

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    

      

         

2 2

volume è , per cui:

V' x 2 x 60 x x 1 40 x x

3

 

  

      

2

V' x 40 x x 0 0 x 40

 

  

      

2

V' x 40 x x 0 40 x 60 x

- 60

0 40

+ massimo

Dal quadro dei segni della derivata prima, ricaviamo che il volume è

quando l’altezza misura

massimo   

    32000 

     

 2 3

e vale .

V V 40 40 60 40 cm

x 40 MAX 3 3

Quesito 3   

 x

Quale è la derivata di ? Si giustifichi la risposta.

f x 3

   

 x

La funzione può essere riscritta come

f x 3

 

   

    

 

x

ln 3 x ln 3

f x e e la cui derivata è

  



  

     

d x ln 3

   

  

 

    

       

x ln 3 x ln 3 x .

f ' x e ln 3 e ln 3 3

dx 14

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Quesito 4

Si dimostri che la media geometrica di due numeri positivi non è mai

superiore alla loro media aritmetica 

 

Dati due numeri , la media geometrica è mentre

M xy

x 0

, y 0 G



x y



la media aritmetica è ; dimostriamo che

M A 2 

x y

    

M M x 0

, y 0 . Dobbiamo provare che ;

xy

A G 2

elevando al quadrato ambo i membri la disequazione diventa

 

2 2

   

2 2 2 2

x y x y xy x y xy x y

           