2010 - Liceo scientifico PNI, sessione suppletiva

Corso sperimentale - Sessione suppletiva - a.s. 2009-2010

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5

P(0, Q(2, C.

3) e ) punti di Si calcoli il volume del solido ottenuto dalla rotazione attorno

x PORQ R Q x).

all’asse del quadrilatero mistilineo ( con proiezione di sull’asse

l

9. Siano dati un ottaedro regolare di spigolo e la sfera in esso inscritta; si scelga a caso un

punto all’interno dell’ottaedro. Si determini la probabilità che tale punto risulti interno alla

sfera.

10. Un’urna contiene 20 palline, che possono essere rosse o azzurre. Quante sono quelle

azzurre, se, estraendo 2 palline senza riporre la prima estratta, la probabilità di estrarre almeno

una pallina azzurra è 27/38 ?

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Durata massima della prova: 6 ore.

È consentito l’uso della calcolatrice non programmabile.

Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema. 3

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PROBLEMA 1

Punto 1

Consideriamo la figura di seguito. Q T

A O B P

   

2 2 2

x

Banalmente si ha ; applicando il teorema di Pitagora al triangolo OTP

AP AB BP 2

   

 

2 2 2 2 2

x x x

si ricava .

TP OP OT 1 1 2

      

Per il teorema delle tangenti a una circonferenza per cui applicando il teorema di

AQ TQ



Pitagora al triangolo AQP si ottiene:  

2 2 2 2 2 2

AQ AP QP AQ AP TQ TP

      

 

2 2 2 2 2 2 2

AQ AP AQ TP AQ AP AQ TP 2 AQ TP

           

2 2

AP TP



2 2

AP TP 2 AQ TP AQ

       

2 TP



 

  2 2

x x x x

2 2 2

   

AQ

  

2 2

x x x x

2 2 2

  

La funzione richiesta è quindi

2

 

x 2

     2

x 2

  

  2

x x

2

  2

x x

2

 

 

2

x x

2



  2

x x

2



 

f x   

   

2 2

x x

2 2

 

 

     

2 2 2

2 2

x x x x x

2 2 2 1

        

2

x 1



2 2

x x x x

2 2

 

  

   

2 2 2

x x

2



x x

2 2

 

Punto 2  

2

x 1



 

f x

Studiamo la funzione  2

x x

2

      

2

Dominio: x x x x x ;

 2 0 2 0 , 2 2

,

0 0

,

                4

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 

2

Intersezione asse ascisse: x

non ve ne sono in quanto è una quantità sempre positiva;

 1



Intersezione asse ordinate: x

non ve ne sono in quanto non appartiene al dominio;

 0



Simmetrie: la funzione non è né pari né dispari;

      

2

Positività: f x x x x ;

 0 2 0 , 2 0

,

          

Asintoti verticali:

    

2 2

x x

1 1

 

lim , lim

   

2 2

x x x x

2 2

 

 

x x

2 2

   

   

2 2

x x

1 1

 

lim , lim

   

2 2

x x x x

2 2

 

 

x x

0 0

 

x x

quindi sono due asintoti verticali

2

, 0

    

2

x 1



Asintoti orizzontali: y

per cui è asintoto orizzontale destro e sinistro;

lim 1

  1



2

x x

2



x  

Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto la funzione è razionale fratta e la presenza

 dell’asintoto orizzontale esclude la presenza di quello obliquo;

Crescenza e decrescenza: la derivata prima è

    

 

2 2 2

x x x x x x x

2 2 1 2 2 2 2 2

     

 

f x per cui

'  

   

2 2

2 2

x x x x

2 2

     

 2

x x 1 0

   1 5 1 5

 

       

f x x ; la funzione

' 0 , 2 2

, ,

          

    

2 2

x x

2 0

   

    

1 5



x

presenta un massimo relativo all’ascissa un minimo relativo all’ascissa

 2

1 5



x ;

 2

Concavità e convessità: la derivata seconda è

      

   

2

2 2 2

x x x x x x x x

4 2 2 2 2 2 2 2 2 2

        

 

f x

' '  

 

4

2

x x

2



       

   

2 2 3 2 3

x x x x x x x x x x x

4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 6 4 8 16 8

           

  

   

3 3

2 2

x x x x

2 2

 

3 2

x x x

4 6 12 8

   

  

3

2

x x

2



Per ricavare i flessi basta trovare gli zeri della derivata seconda e quindi risolvere l’equazione

  3 2

g x x x x ; in particolare attraverso considerazioni basate sul

4 6 12 8 0

         

g x g x

comportamento agli estremi, sulla crescenza e concavità di deduciamo che 5

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 

2

,

3

ammette un solo zero appartenente all’intervallo : infatti in tale intervallo è strettamente

decrescente ed assume valore discorde agli estremi per cui a norma del teorema degli zeri esiste

 

2

,

3

un unico zero in . Tale zero è ricavabile attraverso uno dei metodi numerici come quello di

Newton-Raphson che permette di ricavare ricorsivamente lo zero attraverso la formula

 

g x

x x x

n

  con punto iniziale . Di seguito il metodo in forma tabellare

3



 

n n

1

 0

g x

' n n x x err=|x -x |

n n+1 n+1 n

0 3,000 2,833

1 2,833 2,817 0,167

2 2,817 2,817 0,016

3 2,817 2,817 0,000

2

 x

Con un errore inferiore a deduciamo che il flesso è posizionato all’ascissa .

10 2

,

82



Il grafico è di seguito presentato:

Punto 3

Effettuando il minimo comune multiplo si ha:

   

2 2 2

x b c x ax a b c x b

1 1 2 2

     

 

f x a

     

x x

2 2 2

2



x x x x x x

2 2 2

   6

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e sfruttando il principio di identità dei polinomi ricaviamo il seguente sistema di tre equazioni in tre



 a 1



a 1



  2

x

1 1 1 5



   

a b c b f x

incognite .

2 0 1

         

   

x x

2

2 2 2 2



x x

2



 

b

2 1



 5



c  

 2



Punto 4

L’asintoto orizzontale interseca la curva in un punto la cui ascissa si ricava risolvendo l’equazione

 

2

x 1

 1 1

 

2 2

x x x x

da cui ricaviamo ; il punto di intersezione è allora .

1

 1 2

     ,

1

 

2

x x 2 2

2

  

L’area richiesta è pari a:

 

2 2

   

1 5 1 5

 

S dx dx

 

1 1

       

   

 

   

x x x x

2 2 2 2 2 2

 

  

 

1 1

2 2

2

1 5 1 5 1 1 5 5

 

x x

ln ln 2 ln 2 ln 4 ln ln

         

 

2 2 2 2 2 2 2 2

  1

2

1 5 1 5 5 5 8 128 10 64 10

ln 2 ln 4 ln 2 ln ln 2 ln ln 2 ln ln

           

2 2 2 2 2 2 5 125 125 7

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PROBLEMA 2

Punto 1 x

2   

    a

f x x a e ,

0

Le curve della famiglia intersecano l’asse delle ascisse in . La tangente in

  a

a

     

'

a y m x a m f a

,

0 ha equazione dove ; la derivata prima è

   a

x x x x

x a x

 

1 

     

2 2 2 2

   

     

' '

f x e x a e e e m f a e

per cui da

1 2

             

     

a a a a

 

a a

a a a

     

  x

cui deduciamo che le curve Г tagliano l’asse delle secondo lo stesso angolo

a

   

 m e

arctan arctan .

 

Punto 2 x

2 

   

f x x a e

La derivata seconda della famiglia è

  a

a

x x x x

x x x

 

1 1 1 1

             

2 2 2 2

   

 

' '

f x e e e e e si

2 1 2 3

                  

             

a a a a

 

a a a a a a a a

             

 

x a

annulla in in cui la famiglia di curve presenta un flesso a tangente obliqua. La tangente

3

 a

a 2 1

2

     

'

y m x a m f a

a

inflessionale in ha equazione dove per cui

3 3

     

3 ,

  a

e e

e

  a x a

1 2 5

 

y x a

l’equazione è che rappresenta un fascio di rette parallele di

3

      

e e e e

1

m

coefficiente angolare .

  e

Punto 3     x

2 

f x x e

Studiamo la funzione 1

  

1

Dominio: R;

     x

2 

Intersezione asse ascisse: f x x e x

 1 0 1

     

1   2

Intersezione asse ordinate: x f e

 0 0

   

1

Simmetrie: la funzione non è né pari né dispari

      

x

2 

Positività: f x x e x x ;

 1 0 1 0 1

        

1

Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto il dominio è R;

 Asintoti orizzontali:

 8

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   

x x

1 1 1

  

De L' Hospital

lim F.I lim lim 0

 

  



  

x x x

2 2 2

  



e e e

x x x

     

  x

2 

x e

lim 1

   

x   y

quindi è asintoto orizzontale destro;

0

    

f x f x

Asintoti obliqui: non esistono in quanto ;

 lim 0

, lim

  

1 1

x x

x x

        x

' 2 

Crescenza e decrescenza: f x x e

la derivata prima è per cui

 2

  

1  

 

'

f x x , 2

cioè la funzione è strettamente crescente in e strettamente

 

0 2

  

1    

2

, M 2

,

1

decrescente in ; il punto è di massimo relativo;

    

x

' ' 2 

Concavità e convessità: f x e x

la derivata seconda è per cui

 3

  

1  

 

' '

f x x 3

,

per cui la funzione presenta concavità verso l’alto in e verso il



0 3

  

1 2

 

 

,

3

basso in ; la funzione presenta quindi un flesso a tangente obliqua con

  F 3

,

  

e

 

x 5

y

tangente inflessionale di equazione .

  

e e

Di seguito il grafico:

Punto 4 9

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k

   

 x

2 

S k x e dx

L’area richiesta è pari a . Applicando l’integrazione per parti si ha:

1

 

1

k k

       

       

k k k k

 

x x x x x x k

2 2 2 2 2 2 2

      

S k x e dx x e e dx x e e xe ke e

1 1 1

               

1 1

1 1

1 1 k k

  k

2 

S k e ke e

In particolare . Per il limite , essendo una forma

lim lim lim lim

    k 2



k e

2



e

k k k k

        k 1



indeterminata , possiamo applicare il teorema di De L’Hospital e si ha: lim lim 0

 

k k

2 2

 

 e e

k k

   

k

  k

2 

S k e ke e e

per cui .

lim lim lim

    

k 2



e

k k k

      10

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QUESTIONARIO

Quesito 1

Consideriamo la figura a lato.

Dobbiamo calcolare la lunghezza del

segmento PO. Applicando il teorema dei

triangoli rettangoli ai triangoli POT e OH

si ha la relazione

   

PO PO da cui

tan 24 tan 18 11

     

PO 91 m



Quesito 2 0

Il limite richiesto si presenta nella forma indeterminata per cui possiamo applicare il teorema di

0 27

ln

x x x x

3 3

a a a a

3 3 ln 3 3 ln 3 ln 3 ln

     a

lim lim

  

de l’Hospital: . Imponendo

6

x x x x ln 6 ln 5



6 5 ln 6 6 ln 5 5

   

x x

0 0

  ln 5

27

ln

x x

3 a 27 6 27 36 27 36 75

3  a a

2 ln 2 ln ln ln

        

si ha .

lim 2

 6 a a a

x x 5 25 25 4

6 5



x 0

 ln 5

Quesito 3

Si consideri la figura

seguente: