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La prova di matematica per il liceo scientifico estero (Americhe). Esame 2011, sessione ordinaria.
Nicola De Rosa, Liceo scientifico estero (Americhe), sessione ordinaria. Prova di matematica 2011
Nicola De Rosa, Liceo scientifico estero Americhe sessione ordinaria 2011, matematicamente.it
L’area richiesta, quindi, è pari a 1
1 1
2 2 3 2
x x x 3 x 3 x
S 2 x 1 dx x 2 dx 2 x
2 2 2 2 6 4
4 4 4
1 3 32 13 28 125
2 12 8
6 4 3 12 3 12
Per il calcolo del volume dovuto alla rotazione di intorno alla retta
X x
consideriamo la seguente trasformazione: . In questo
y 1
Y y 1
modo la retta verrà a coincidere nel sistema di riferimento OXY
y 1
con l’asse delle ascisse mentre la parabola avrà equazione
2
X X
Y 1 .
2 2
1.
La regione in OXY è
raffigurata in grigio nella
figura soprastante. Il volume
richiesto sarà quindi pari a
2
1 1
2 4 3 2
X X X X 3 X
2
V 1 1 dX X dX
2 2 4 2 4
0 0
1
5 4 3 2
X X X X 1 1 1 1 7
20 8 4 2 20 8 4 2 40
0 5
Nicola De Rosa, Liceo scientifico estero Americhe sessione ordinaria 2011, matematicamente.it
PROBLEMA2
In una semicirconferenza di diametro AB di lunghezza 2, è inscritto un
quadrilatero convesso ABCD avente il lato CD uguale al raggio. I
prolungamenti dei lati AD e BC si incontrano inun punto E.
1. Si dimostri che, qualunque sia la posizione dei punti C e D sulla
semicirconferenza, si ha:
ˆ ˆ
ˆ
e
D
A
C D
B
C A
E
B
6 3
ˆ
x D
A
B
2. Se , si provi che la somma CE+DE in funzione di x è data
. Quale è l’intervallo di variabilità della
da x?
f x cos x 3 sin x
Quale il valore massimo assunto da CE+DE?
g x k sin x g x f x
3. Posto si trovino e di modo che
k
4. Si tracci, a prescindere dai limiti geometrici del problema, il grafico
11
di e si denoti con R la regione delimitata, per ,
f x x ,
6 6
dall’asse l’area di R e si calcoli altresì il volume del
x e da . Si calcoli
solido generato da R nella rotazione attorno all’asse x.
RISOLUZIONE
Punto 1
Si consideri la figura a lato
rappresentante la geometria
del problema.
Per il teorema della corda
applicato ai triangoli ADC e
DCB si ha 6
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DC 1
ˆ ˆ
D
A
C D
B
C arcsin arcsin .
2 r 2 6
Poiché il triangolo AEC è rettangolo in C
ˆ
ˆ ˆ
.
A
E
B A
E
C D
A
C
2 2 6 3
Punto 2
ˆ
ˆ
, la limitazione sull’angolo
Poiché è .
D
A
B x
D
A
C x
6 6 2
Il triangolo ACE è rettangolo in C, per cui a norma del teorema dei
3
ˆ
triangoli rettangoli dove
CE CA tan C
A
E CA tan CA
6 3
CA , applicando il teorema dei triangoli rettangoli al triangolo ACB è
ˆ
per cui
CA AB cos C
A
B 2 cos x 3 cos x sin x
6
3 3
CE 3 cos x sin x cos x sin x ; analogamente il
3 3
triangolo BED è rettangolo in D per cui a norma del teorema dei
triangoli rettangoli
3
ˆ
dove , applicando
DE DB tan E
B
D DB tan DB DB
6 3
il teorema dei triangoli rettangoli al triangolo ADB è
3 2 3
ˆ
DE 2 sin x sin x
per cui . In
DB AB sin D
A
B 2 sin x 3 3
conclusione
3 2 3
f x CE DE cos x sin x cos x cos x 3 sin x con
3 3
x . La funzione può essere anche
f x cos x 3 sin x
6 2 7
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scritta come e il valore massimo
f x cos x 3 sin x 2 sin x
6
è assunto quando cioè quando
sin x 1
6
. Quindi il valore massimo è
x k 2 x k 2
6 2 3
raggiunto per e vale e il quadrilatero corrispondente è
x f 2
3
3
un trapezio isoscele. In particolare è massimo relativo ed
M , 2
3
assoluto per la funzione .
f x cos x 3 sin x 2 sin x
6
Punto 3
Nel Punto 2 abbiamo mostrato che la funzione f x cos x 3 sin x
può essere anche scritta come ,
f x cos x 3 sin x 2 sin x
6
, k g x k sin x f x
per cui i valori tali per cui sono
. Se non avessimo intuito che la funzione
, k 2
6
poteva essere scritta come ,
f x cos x 3 sin x f x 2 sin x
6
avremmo dovuto procedere in questo modo. Sfruttando la formula di
g x
addizione, la funzione coincide con
. L’uguaglianza
g x k sin x k sin x cos k cos x sin
è verificata se
k sin x cos k cos x sin cos x 3 sin x
k sin 1
; dividendo la prima per la seconda otteniamo
k cos 3 8
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3
, mentre elevando al quadrato e sommando otteniamo la
tan 3
3
k sin 1 tan
2
seconda condizione per cui .
k 4 3
k cos 3
2
k 4
3
L’equazione ha come soluzioni con
tan k k Z
6
3
mentre l’equazione 2 ha come soluzioni . Tra le possibili
k 4 k 2
k sin 1
coppie quella che soddisfa il sistema è solo
, k
k cos 3
.
, k , 2
6
Punto 4
Il grafico della funzione lo
f x cos x 3 sin x 2 sin x
6
ricaviamo attraverso i seguenti passi:
h x sin x
1. Grafichiamo la funzione elementare ;
2. Trasliamo il grafico del Punto 1 di verso le ascisse negative,
x 6
ottenendo il grafico di h x sin x
1
6
3. Otteniamo il grafico di moltiplicando per 2
f x 2 sin x
6
le ordinate del grafico di h x sin x
1
6
Il grafico è il seguente. 9
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5
Nell’intervallo la funzione
,
6 6
5 11
è positiva mentre in ,
f x cos x 3 sin x 2 sin x
6 6 6
5
x
è negativa ed è simmetrica rispetto alla retta ; da ciò deduciamo
6
che l’area della regione R è pari a
5 11
6 6
S R 2 sin x dx 2 sin x dx . Effettuando la
6 6
5
6 6
l’integrale diventa
t x
sostituzione 6
2
2
S R 2 sin t
dt 2 sin t
dt 2 cos t 2 cos t
0
0
2 cos 2 cos 0 2 cos 2 2 cos 2 2 2 2 8
10
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delle
Il volume del solido dovuto alla rotazione di R intorno all’asse
11
6
2
V R 4 sin x dx
ascisse è . Effettuando la sostituzione
6
6
l’integrale diventa
t x 6
11
2 2
6
2 2
V R 4sin x dx 4sin tdt 2 2 cos 2 t dt
6
0 0
6
2 2
2 t sin 2 t 4
0 11
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QUESTIONARIO
Quesito 1
Sia W il solido ottenuto facendo ruotare attorno all’asse y la parte di
e l’asse x.
piano compresa, per , fra il grafico di
x 0
, y sin x
2
Quale dei seguenti integrali definiti fornisce il volume di W?
1
2 2
2 2
2 x sin x
dx sin x
dx
arcsin x dx
A) ; B) ; C) ;
0 0
0
D) nessuno di questi
Si motivi la risposta.
La risposta esatta è la A).
Pensiamo la regione R decomposta in tanti ognuno dei quali genera un
solido pari alla differenza di due cilindretti, in modo che, intuitivamente
potremo pensare W come somma progressiva di infiniti gusci cilindrici
coassiali di spessore , dove il raggio x varia da 0 a .
dx 2
Il volume del guscio (infinitesimo) può essere calcolato come prodotto
dell’area circolare di base di raggio esterno x x e raggio interno
i i
2
, per l’altezza: 2
V x x x sin x . Trascurando gli
x i i i i i
i 2
x
infinitesimi di ordine superiore a il volume infinitesimo sarà
i
V 2 x sin x x . Se il numero di gusci cilindrici in cui
i i i i
suddividiamo l’intervallo 0
, è N il volume richiesto sarà:
2 12
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2
N N
V lim V lim 2 x sin x x 2 x sin xdx
i i i i
N N
i 1 i 1 0
2 x cos x sin x 2 1 2
2
0
Quesito 2
Angelo siede in un punto A della piazza del suo paese e vi osserva un
albero in B, una fontana in F e un lampione in L. Stima l’ampiezza
dell’angolo sotto cui vede la congiungente B e F pari a 30° e l’ampiezza
dell’angolo sotto cui vede FL pari a 45°. Sapendo che e
BF 12
m
ˆ
B
F
L 155
e che , si spieghi ad Angelo come procedere per
FL 20
m
calcolare AB, AF e AL. Sono attendibili i risultati AB AF 23,18m
e ?
AL 27,85m
Consideriamo la figura seguente rappresentante la geometria del
problema. ˆ
Indicando l’angolo A
F
L , gli altri angoli di conseguenza saranno
ˆ ˆ ˆ
.
A
L
F 135 , A
F
B 155 , A
B
F 5 con 5 135
13
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Applichiamo il teorema dei seni ai due triangoli ABF ed AFL per
ricavare in ambo i casi la misura del lato e dei lati e :
AL
AF AB
20sin 135
AF FL
(1) AF 20 2 sin 135
sin 135 sin 45 sin 45
12sin 5
AF BF
(2) AF 24 sin 5
sin 5 sin 30 sin 30
FL sin
AL FL
(3) AL 20 2 sin
sin sin 45 sin 45
BF sin 155
AB BF
(4) AB 24 sin 155
sin 155 sin 30 sin 30
Uguagliando le due espressioni e si ha:
1 2
20 2 sin 135 24 sin 5
20 2 sin135 cos cos135 sin 24 sin cos5 cos sin 5
2 2
20 2 cos sin 24 sin cos5 cos sin 5
2 2
20 cos sin 24 sin cos5 cos sin 5
24 cos5 20 sin 20 24sin 5 cos 0 posto cos 0
k
2
20 24sin 5
24 cos5 20 cos tan 0
24 cos5 20
20 24sin 5
tan 5,652
24 cos5 20
Ricordiamo ora le formule trigonometriche che esprimono il seno e il
coseno in funzione della tangente: 14