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Svolgimento della prova di matematica per il liceo della comunicazione. Esame stato 2011/2012. Sessione ordinaria.
Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione, sessione ordinaria. Prova di matematica 2012
Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria 2012, matematicamente.it
Punto2
Notiamo subito che il grafico della funzione
2 2 può essere ricavato da quello di
f ( x ) ln ( x ) ln x 1
a seguito di simmetria rispetto all’asse delle
2 2
g ( x ) ln ( x ) ln x 1
ordinate in quanto .
f ( x ) g x
2 2
Studiamo quindi il grafico di . Innanzitutto,
g ( x ) ln ( x ) ln x 1
2
2 2 2
poiché , possiamo
ln ( x ) ln x 1 ln ( x ) 2 ln x 1 ln x 1
riscrivere
2 2
g ( x ) ln ( x ) ln x 1 come
ln x 1 se x e
g ( x ) ln x 1 .
1 ln x se 0 x e
x e
Notiamo innanzitutto che la funzione è continua in in quanto
lim ln x 1 lim 1 ln x 0 .
x e x e
g x ln x 1
Studiamo un ramo alla volta, partendo da 1
nell’intervallo . Tale funzione interseca l’asse delle ascisse in
e
,
e
,
e
,
0 , è positiva nel dominio , non presenta asintoti né verticali
né orizzontali né obliqui, ed è strettamente crescente in tutto il dominio
e
, .
nell’intervallo
g x 1 ln x 0
, e
Studiamo il ramo . Tale funzione
2
non interseca l’asse delle ascisse in quanto x e non appartiene al
0
, e
dominio, è positiva nel dominio , presenta come asintoto
x 0
lim 1 ln x
verticale in quanto , non presenta asintoti orizzontali
x 0
né obliqui visto il dominio limitato, ed è strettamente decrescente in
0
, e
tutto il dominio .
x e
Notiamo che in la funzione presenta un punto angoloso in quanto
1 1 1 1
lim g ' x lim lim g ' x lim .
x e x e
x e x e x e x e
2
Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria 2012, matematicamente.it
2 2
Di seguito il grafico di .
g ( x ) ln ( x ) ln x 1
Il grafico di
ln x 1 se x e
2 2
f ( x ) ln ( x ) ln x 1 si ricava
1 ln x se e x 0
simmetria intorno all’asse delle ordinate:
da quello soprastante per 3
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Punto 3
2 2
g ( x ) ln ( x ) ln x 1
La funzione è continua in tutto il dominio
x e
D : x 0
, e non è derivabile in in cui presenta un punto
g
angoloso in quanto
1 1
lim g ' x lim
x e
x e x e
1 1
lim g ' x lim
x e
x e x e
2 2
f ( x ) ln ( x ) ln x 1
Analogo ragionamento per la funzione
D : x ,
0
continua in tutto il dominio e non è derivabile in
f
x e in cui presenta un punto angoloso in quanto
1 1 1 1
lim f ' x lim lim f ' x lim .
x e x e
x e x e x e x e
4
Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria 2012, matematicamente.it
Punto 4 2 e
L’area richiesta è pari a . Applicando l’integrazione
S ln x 1 dx
e
per parti si ha:
2 e
2 e
S ln x 1 dx x ln x 2 2
e ln 2
e 2 e ln e 2
e
e
2
e ln 2 ln e 2 e ln e 2 2
e ln 2 1 2 e 1 2
4
e 2 ln 2 1 e ln 4 1 e ln
e
5
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PROBLEMA 2
Siano f e g le funzioni definite, per tutti gli x reali, da
3
e
f ( x ) | 8 x | g ( x ) sen
( x )
1. Fissato un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy, si
studino f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici e .
G G
f g
2. Si scrivano le equazioni delle rette r e s tangenti, rispettivamente, a
1
e nel punto di ascissa . Quale è la misura, in gradi e
G G x
f g 2
primi sessagesimali, dell’angolo acuto individuato da r e da s?
Si calcoli l’area della regione R racchiusa, G G
3. tra e .
f g
4. Si scrivano, spiegandone il perchè, ma senza calcolarli, gli integrali
definiti che forniscono i volumi dei solidi K e W ottenuti dalle rotazioni
di R, attorno alle rette e , rispettivamente.
y 0 y 1
RISOLUZIONE
_____ _____
Punto 1 3
Studiamo la funzione .
f x 8x
3
Il grafico della funzione possiamo ricavarlo da quello della
f x 8x
3
h x 8x
funzione ribaltando verso le ordinate positive la parte di
grafico al di sotto dell’asse delle ascisse. Pertanto studiamo la funzione
3
h x 8x
Dominio: R;
3
h x 8 x 0 x 0
Intersezione ascisse:
x 0 h 0 0
Intersezioni ordinate: ;
Simmetrie: la funzione è dispari in quanto
3 3 ;
h x 8 x 8 x h x
3
h x 8x
Positività: la cubica è positiva se ;
x 0
6
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Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto il dominio è R;
Asintoti orizzontali: per cui non ve ne sono;
lim h x
x
h x
Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto ;
lim
x
x 2
Crescenza e decrescenza: la derivata prima è per cui
h
' x 24 x
all’interno del dominio la funzione è strettamente crescente e si annulla
solo in x 0
h
' ' x 48 x
Concavità e convessità: per cui la funzione ha concavità
verso l’alto in 0
, ,
0
e verso il basso in ; poiché
F 0
,
0
quindi è un flesso a tangente
h
' 0 0
, h
' ' 0 0
, h
' ' ' 0 48 0
orizzontale di equazione .
y 0
h ' ' x 0 x 0
h ' ' x 0 x 0 x
- 0
h ' ' x 0 x 0 flesso
7
Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria 2012, matematicamente.it
Il grafico è di seguito presentato:
G h
Il grafico , ricavato da quello di , è di seguito presentato:
G G
f h
8
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g x sin x
Studiamo la a funzione
Dominio: R;
g x sin x 0 x k x k , k Z
Intersezione ascisse:
Intersezioni ordinate: ;
x 0 g 0 0
Simmetrie: la funzione è dispari in quanto
;
g x sin x sin x g x
Positività: la funzione è positiva se
2
k x 2
k 2
k x 1 2
k , k Z ;
Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto la funzione è limitata;
Asintoti orizzontali: ve ne sono in quanto la funzione è limitata;
Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto la funzione è limitata;
g ' x cos x
Crescenza e decrescenza: la derivata prima è per cui
cos x 0
la funzione è strettamente crescente negli intervalli in cui e
strettamente decrescente negli intervalli in cui .
cos x 0
Poiché
3
cos x 0 2 k x 2 k 2 k x 2 2 k
2 2
1 3
2 k x 2 k 2 k x 2 2 k , k Z
2 2
e
3 1 3
cos x 0 2 k x 2
k 2 k x 2 k , k Z ,
2 2 2 2
deduciamo che la funzione è strettamente crescente negli intervalli
1 3
con e strettamente decrescente
k Z
2 k , 2 k 2 k , 2 2 k
2 2
1 3
in con ; in conclusione la funzione presenta
k Z
2 k , 2 k
2 2 9
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1 3
massimi relativi in e minimi relativi in
M 2 k ,
1 m 2 k , 1
k
k
2
2
con .
k Z
2
g ' ' x sin x
Concavità e convessità: la derivata seconda è e si
annulla in per cui i punti sono flessi.
2k ,
0
x 2
k , k Z
Il grafico è di seguito presentato:
G g
Punto 2
1
3 3
x 0
,
Per . La tangente in alla funzione
x
f x 8 x 8 x 2
1 1 1
3 ha equazione dove
y f ' x f
f x 8x
2 2 2
1 1
per cui l’equazione della tangente è
2
f 1
, f ' 24 x 6
1
x
2 2 2
1
.
y 6 x 1 6 x 2
2 10
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1
g x sin x
La tangente in alla funzione ha equazione
x 2
1 1 1
1 1
y g ' x g dove g 1
, g ' cos x 0
1
x
3 3 3 2 2 2 1
l’equazione della tangente è D’altronde l’ascissa
per cui . è
x
y 1 2
1
ascissa di massimo per cui la tangente in è orizzontale e pari al
x 2
valore massimo che può assumere una funzione sinusoidale, cioè 1.
, l’angolo acuto formato tra
Date due rette di coefficienti angolari m
, m
'
m m
'
le due può essere ricavato dalla formula da cui,
tan
1 mm
'
m m '
sapendo che , ricaviamo per cui
m 6, m ' 0 tan 6
1 mm '
arctan 6 1
, 406 rad 80 32
'
Punto 3
3
Le due funzioni si intersecano solamente
f x 8 x e g x sin x
1 1
. Nell’intervallo
x 0
, x
nei punti di ascisse la funzione
0
,
2 2
3
g x sin x sta al di sopra di e in questo intervallo
f x 8x
regione R di cui calcolare l’area
3 3 . La è di seguito
f x 8 x 8 x
raffigurata in grigio: 11
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richiesta vale
L’area 1 1 1
2 2 1
2
3 4
S R g x f x dx sin x 8 x dx cos x 2 x
0
0 0
1 1 8
8 8
Punto 4
Il volume del solido K ottenuto dalla rotazione della regione R attorno
all’asse V
delle x può essere ottenuto come differenza tra il volume del
1
solido generato dalla rotazione della parte di piano delimitata dalla
1
e dall’asse attorno all’asse
g x sin x x
curva , dalla retta x x, e
2
V
il volume del solido generato dalla rotazione della parte di piano
2 1
dall’asse
3 x
f x 8x
delimitata dalla curva , dalla retta e x
2
attorno all’asse x . Pertanto si ha:
1 1
2 2
2
2 3
V K V V sin x dx 8 x dx
1 2 0 0
12
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Anche se ci viene richiesto di non calcolarlo, proviamo comunque a
risolvere l’integrale definito soprastante:
1 1 1
2 2 2
1 cos 2 x
2
2 3 6
V K sin x dx 8 x dx 64 x dx
2
0 0 0
1
x sin 2 x 64 1 1 5
2
7
x
2 4 7 4 14 28
0
Il volume W del solido generato dalla rotazione della regione R attorno
alla retta può essere ottenuto applicando il Principio di
y 1
Cavalieri, cioè immaginando il solido di rotazione come insieme delle
sue sezioni con piani perpendicolari all'asse x; tali sezioni sono corone
3
circolari di raggio interno pari a , e raggio esterno pari
R x 8 x 1
int
a . Pertanto il volume richiesto è pari a
R x sin x 1
est 1 1
2 2
2
2
2 2 3
V W R x R x dx sin x 1 8 x 1 dx
est int
0 0
Anche se ci viene richiesto di non calcolarlo, proviamo comunque a
risolvere l’integrale definito soprastante: