2012 - Liceo scientifico sperimentale PNI, sessione ordinaria

Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria 2012, matematicamente.it

Punto 4

   



g x xf x

Sia . La retta tangente a f in (3,6) ha equazione

   

      per cui l’equazione della tangente

y m x 3 6 m f ' 3 1

con

 

è .

y 9 x   

  



3

,

3 f 3 3

,

18

La retta tangente a g in ha equazione

   

   

y m x 3 18 m g ' 3

con ; la derivata della funzione

         

  

g x xf x g ' x f x xf ' x

è per cui

     

     pertanto l’equazione della tangente

g ' 3 f 3 3 f ' 3 6 3 3 è

  

     . L’ampiezza dell’angolo acuto

y 3 x 3 18 3 x 9 è dato dalla

 

m m

   

4

 

     

f g

formula tan 2 arctan 2 63° 25' 48"

 

1 m m 2

f g 4

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PROBLEMA2  

  

 x

Siano f e g le funzioni definite da e g x ln x

f x e

1. Fissato un riferimento cartesiano Oxy, si disegnino i grafici di f e di g

e si calcoli 1

 

l’area della regione R che essi delimitano tra e .

x x 1

2

attorno all’asse

2. La regione R, ruotando x, genera il solido S e,

ruotando attorno

all’asse y, il solido T. Si scrivano, spiegandone il perché, ma senza

calcolarli, gli

integrali definiti che forniscono i volumi di S e di T.



x 0

3. Fissato , si considerino le rette r e s tangenti ai grafici di f e di

0

g nei rispettivi x x

punti di ascissa . Si dimostri che esiste un solo per il quale r ed s

0 0

sono parallele. si calcoli un’approssimazione

x

Di tale valore arrotondata ai

0

centesimi.

       

 

h x f x g x h x

4. Sia . Per quali valori di x la funzione

presenta, nell’intervallo

1  

x 1

chiuso , il minimo e il massimo assoluti? Si illustri il

2

ragionamento seguito. RISOLUZIONE

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Punto 1   

La funzione è la classica funzione logaritmica, definita in

g x ln x

   

 



l’asse delle ascisse in

0

, 1

,

, interseca , positiva in , ha

x 1

 come asintoto verticale ed è strettamente crescente in tutto il

x 0

dominio.    x

La funzione è definita e continua e derivabile in tutto R; non

f x e  

interseca mai l’asse delle ascisse, mentre interseca le ordinate in , è

0

,

1



sempre positiva, ha come asintoto orizzontale sinistro ed è

y 0

strettamente crescente in tutto il dominio.

Di seguito il grafico di entrambe le funzioni nello stesso riferimento

cartesiano Oxy.

L’area da calcolare è di seguito raffigurata in grigio.

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L’area richiesta è:  

 

1  

 1

     

x x

S e ln x dx e x ln x 1 1

1 2

2

 

 

  1 1 1 1

         

 

 

e 1 0 1 e ln 1 e e ln 2

 

 

2 2 2 2

 

    

in cui si è sfruttato l’integrale per parti ln x

dx x ln x 1 C,C R

Punto 2

Il volume del solido S (ruotando attorno all’asse delle x, la limitazione



data da è inessenziale in quanto la relativa parte di grafico si

y ln x

trova nel quarto quadrante) si ottiene come:

1

   



1 1 2 x 2

 

  e e e

   

2

   

   

x 2 x  

 

V S e dx e dx

 

     

2 2

1

1 1 2

2 2

Il volume del solido T può essere calcolato applicando il metodo dei

Il solido generato dalla rotazione attorno all’asse

gusci cilindrici. y di

una regione piana può essere visto come somma di tanti “gusci  

cilindrici”, cioè cilindri cavi di raggio interno x, raggio esterno x x

 

f x

ed altezza .  di un “guscio” come volume

Consideriamo il volume finito V 

infinitesimo , quindi trattiamo come infinitesimo dx ; esso può

dV x

essere espresso nella forma:

 

         

  

          

2 2

2

dV x dx x f x 2 x dx f x dx f x

 

2

Poiché è un infinitesimo di ordine superiore a , allora il

dx

dx  

    

   

 

2 2 x dx f x

dx f x

termine è trascurabile rispetto a ,

pertanto

 

     

 

       

2 2

dV x dx x f x 2 x dx f x

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Il volume del solido dovuto alla rotazione intorno all’asse delle

ordinate, pensato come somma di tanti volumetti relativi

dV

 

all’intervallo di ascisse , è pertanto pari a

a, b

b b  

 



 

V dV 2 xf x dx . Se la regione da ruotare è delimitata da due

a a

     

  

funzioni, e con il volume solido dovuto alla

f x g x f x

g x

rotazione intorno all’asse delle ordinate sarà pari a

b  

   





 

V 2 x g x f x dx .

a

Nel caso in esame il volume richiesto sarà pari a

 

1

  



 

x

V T 2 x e ln x dx

1

2

Applicando l’integrazione per parti si ha

 

    

x x

xe dx e x 1 C,C R

 

2

x 1

    

 

x ln x

dx ln x C,C R

 

2 2

Pertanto 1

 

   

1 2

    x 1



 

      

 

x x

 

V T 2 x e ln x dx 2 e x 1 ln x

 

 

2 2 1

1 2

2

 

   

1 e 1 1 ln 2 3

 

      

   

 

2 ln 2 e

   

4 2 8 2 4 8

 

Alternativamente il volume può essere calcolato utilizzando le funzioni

inverse; consideriamo a riguardo la figura di seguito in cui viene

raffigurata in grigio la regione R ruotata attorno all’asse y. I vertici del

       

 

cilindro ABB’A’ sono A 1

,

0 , B 1

, e , B

' 1

, e , A

' 1

,

0 mentre i vertici

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del cilindro CDD’C’ sono

       

1 1 1 1

   

        .

C , ln 2 , D , e , D ' , e , C ' , ln 2

       

2 2 2 2

Detti:

 il volume del cilindro, avente raggio di base 1 e altezza ;

e

V

1

 il volume del solido ottenuto ruotando la funzione

V 2   

logaritmica attorno all’asse y, con ;

ln 2 y 0

 il volume del solido ottenuto ruotando la funzione

V 3  

esponenziale attorno all’asse y, con ;

e y e 1

 il volume del cilindro, avente raggio di base e altezza

V 4 2



e ln 2      

V T V V V V

il volume del solido T è .

1 2 3 4

9

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 



L’inversa della funzione e l’inversa

x è di è

y e x ln y y ln x

 y , pertanto il volume è pari a:

x e

      

V T V V V V

1 2 3 4 2  

 

0 e

1

 

  

        

2 2 y 2

 

1 e e dy e ln 2 ln ydy

 

2

 ln 2 e

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0





L’integrale definito 2 y è pari a

e dy

 ln 2

0

   

0 2 y

e 1 1 3



   

   

  , mentre l’integrale definito

2 y  

e dy  

 

2 2 8 8

 

ln 2 ln 2  

e

 

     

2 2

2 , ricordando che ,

ln ydy ln ydy y ln y 2 ln y 2 C , C R

e

è pari a  

 

e   1

 

e

  

  

         

2 2  

ln ydy y ln y 2 ln y 2 e 1 2 2 e 1 2

 

   

 

4

e

e  

5



 

 

e e

 

4

In conclusione  

    

  3 e ln 2 5 ln 2 3

 

    

         

   

V T e e e e

     

8 4 4 4 8

 

come precedentemente calcolato.

Punto 3

Le rette r ed s sono parallele se sono uguali i coefficienti angolari, cioè



m m . Ricordando che il coefficiente angolare è pari al valore della

r s 1

 

x

m e , m

derivata prima nel punto considerato, si ha , pertanto le

r s x

1



x

e

due rette sono parallele se .

x 

x 0

Dobbiamo ora dimostrare che esiste un solo tale per cui

0

  1

  

l’equazione x

F x e 0 .

x 11

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Rappresentiamo nello stesso riferimento cartesiano Oxy entrambe le

    1

 

x

funzioni derivate prime .

f ' x e , g ' x x

Dal grafico si evince che esse si intersecano in un solo punto

     

1 1

      

 

  ; d’altronde , pertanto a

x ,

1 F e 2 0

, F 1 e 1 0

0  

  2

2 dell’equazione

x

norma del teorema degli zeri la radice 0

 

  1 1

    

cadrà nell’intervallo

x .

F x e 0 ,

1

 

x 2

Il calcolo numerico della radice sarà effettuato mediante metodo

dicotomico o di bisezione e mediante metodo delle tangenti o di

Newton-Raphson. 12

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 Metodo dicotomico o di bisezione

Di seguito la tabella che mostra i passi dell’algoritmo.

 

   

a b 1

a b 

  

  

F a

n n b a

n n

F

a b F b

n

n n n n n

2 100

2

n n n

0 0,5000 1,0000 0,7500 -0,3513 1,7183 0,7837 0,5000 NO

0,5000 0,7500 0,6250 -0,3513 0,7837 0,2682 0,2500 NO

1

2 0,5000 0,6250 0,5625 -0,3513 0,2682 -0,0227 0,1250 NO

3 0,5625 0,6250 0,5938 -0,0227 0,2682 0,1266 0,0625 NO

4 0,5625 0,5938 0,5781 -0,0227 0,1266 0,0530 0,0313 NO

0,5625 0,5781 0,5703 -0,0227 0,0530 0,0154 0,0156 NO

5 0,5625 0,5703 0,5664 -0,0227 0,0154 -0,0036 0,0078 SI

6 

x 0

,

57

Dopo 7 iterazioni la soluzione approssimata al centesimo è .

0

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 Metodo delle tangenti o di Newton-Raphson

Si applica la formula ricorsiva 1



x

e n

   

 

x

2

F x x x e x 1 2 x

n

    

n n n n n con punto

x x x

 

 

n 1 n n x

2

1

F ' x x e 1

n



x

e

n n

n 2

x n

   



iniziale in cui e sono concordi.

x 1 F x F ' ' x

0 0 0

La tabella seguente mostra tutti i passi dell’algoritmo. 1

 

  

x x

x x

n 

 n n n 1

n n 1 n 100

0 1 0,538

1 0,538 0,566 0,462 NO

2 0,566 0,567 0,028 NO

3 0,567 0,567 0,001 SI



Dopo 4 iterazioni la soluzione approssimata al centesimo è x 0

,

57

0

come precedentemente trovato. Si noti come il metodo delle tangenti o

di Newton-Raphson abbia una velocità di convergenza maggiore

rispetto al metodo dicotomico o di bisezione.

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Punto 4      

   

x

La funzione è derivabile e quindi

h x f x g x e ln x

 

1

continua in , pertanto a norma del teorema di Weierstrass

,

1

 

 

2

ammette massimo e minimo assoluto in suddetto intervallo.

      1

   

x

La derivata prima è e se guardiamo il

h ' x f ' x g ' x e x

    1

 

x

grafico in cui entrambe le funzioni sono

f ' x e , g ' x x

rappresentate nello stesso riferimento cartesiano Oxy notiamo che

     

    

f ' x g ' x h ' x 0 se x x 0

,

57

0

     

    

f ' x g ' x h ' x 0 se x x 0

,

57

0

     

    

f ' x g ' x h ' x 0 se x x 0

,

57

0    

1

pertanto, considerando il solo intervallo , è strettamente

h' x

,

1

 

 

2

    



1  x ,

1 h x

decrescente in e strettamente crescente in per cui

, x

 0

0

 

2 in corrispondenza dell’ascissa

presenta un minimo relativo

 

x x 0

,

57 .

0

Confrontando il valore della funzione agli estremi dell'intervallo e

del

nell’ascissa punto di minimo relativo otteniamo:

 

1   

 

h e ln 2 2

,

3419

 

2

  

h x 2

,

3304

0

   

h 1 e 2

,

7183 

all’ascissa

pertanto il massimo assoluto è assunto e il minimo

x 1

 

assoluto all’ascissa x x 0

,

57 .

0 15

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QUESTIONARIO

Quesito 1

Si calcoli 

3 x 4 x

2 3

lim



 x

x 0 0 l’Hospital si