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Carlo Sintini, Maturità scientifica Settembre 1961, Prova di matematica.
Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1961 Settembre, matematicamente.it
Settembre 1961
Data una sfera di centro O e raggio r, si conduca un piano
secante non passante per il centro e si indichino: con S
l’area della superficie della sfera; con S l’area della calotta
1
l’area della superficie
maggiore che così si ottiene; con S 2
laterale del cono avente per base il cerchio sezione così
ottenuto e le generatrici tangenti alla sfera.
Si determini la distanza del piano secante dal centro O in
modo che si abbia S + k S = 2 S
2 1
Con k numero positivo dato.
Esprimendo poi k in funzione della distanza del piano
si studi l’andamento di tale
secante dal centro della sfera,
funzione. –
Per valori di x compresi fra 0 e r si hanno situazioni
simmetriche e il cono si trova nella parte inferiore della sfera.
Si ha Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1961 Settembre, matematicamente.it
2
S 4 OB
S 2 OB AD
1
S AB VB
2
È anche
AD r x
2 2
AB r x
I triangoli ABO e VBO sono simili e perciò
2 2
OB AB r r x
VB : OB AB : AO VB AO x
Si ha quindi
2 2
r r x
2
S 4 r S 2 r r x S
1 2 x
Applicando la relazione del problema, si ha
S + k S = 2 S
2 1
2 2
r r x
2
k 2 r r x 8kr
x
2 2
x 2k 1 2rx 4 k r 0
0 x r k 0
2
Ponendo x = y si ottiene il sistema
2
4 k r
y 2rx
2k 1 2k 1
2
y x
Cioè un fascio di rette con centro nel punto
2
r r
F ;
7 7
E una parabola con vertice nell’origine, asse verticale e ascisse
comprese fra 0 ed r.
Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1961 Settembre, matematicamente.it
Imponendo il passaggio per O, R, T si trovano i seguenti valori
di k
R k 2
O k
T k 5 2 2
E perciò si ha
Riprendiamo ora l’equazione parametrica
2 2
x 2k 1 2rx 4 k r 0
Ed esplicitiamo il parametro k. Si ottiene
2 2
x 8rx r
k
2x x r
Funzione algebrica di terzo grado, fratta, con 0 < x < r, con due
asintoti verticali di equazione e uno
x 0 e x r
orizzontale di equazione y = ½.
