La crisi dei fondamenti 2

La Matematica

Cap. 2) Tra Ottocento e Novecento

Par. 1) Disquisizioni sulla natura della matematica

Una delle acquisizioni definitive del XIX secolo fu il riconoscimento che la matematica non è una

scienza naturale, ma una creazione dell’intelletto umano. Gli scienziati iniziarono dunque a

considerare la matematica come una forma di pensiero assiomatico, in cui a partire da premesse

arbitrarie si traggano conclusioni valide, sia che i postulati siano veri in senso scientifico, sia che siano

falsi. Nonostante la concordanza degli scienziati su quanto appena detto, restavano comunque degli

studiosi favorevoli alla concezione intuizionistica della matematica. Ancora oggi esistono diverse

“scuole di pensiero” che risolvono la questione in modi diversi, a favore dell’intuizionismo o del

rigore assiomatico.

Par. 2) Bertrand Russell

Bertrand Russell fu matematico e filosofo e si occupò principalmente di definire le basi logiche della

matematica e i suoi principi primi. L’attività dello studioso coinvolgeva evidentemente sia

Principi

matematica che filosofia. Celebre è la sua definizione di “matematica” pubblicata nel 1903 in

della matematica.

DEFINIZIONE DI MATEMATICA SECONDO RUSSELL q”, p q

La matematica pura è la classe di tutte le proposizioni aventi la forma “p implica dove e sono

proposizioni contenenti una o più variabili, le quali sono le stesse in entrambe le proposizioni, e né

p q

né contengono alcuna costante a eccezione delle costanti logiche.

Con tale definizione la matematica sembra trovare il suo fondamento nella logica razionale. Oggi

esiste una branca della matematica, detta metamatematica, che si occupa proprio di indagare le radici

logiche e filosofiche della disciplina.

Par. 3) Poincaré

Henri Poicaré, figura di transizione tra Ottocento e Novecento, ebbe il merito di rivolgere i suoi

interessi a moltissime diverse branche della matematica. I suoi studi per il dottorato in scienze lo

( )

f z

portarono a formulare di fatto la teoria delle funzioni automorfe. Una funzione automorfa della

z

variabile complessa è una funzione analitica invariante rispetto ad un gruppo numerabilmente

infinito di trasformazioni lineari frazionarie del tipo

az b

+

′

z = cz d

+

Poicaré anticipò inoltre quell’interesse per la topologia che si sarebbe diffuso poi nel XX secolo,

Analysis situs.

occupandosi prevalentemente di topologia combinatoria nel suo trattato La topologia

combinatoria è oggi una branca della matematica che si occupa delle proprietà geometriche che

rimangono inalterate quando lo spazio viene deformato mediante trasformazioni biunivoche e

continue. Questo concetto può essere chiarito con un esempio: una circonferenza divide un piano

in due regioni, una interna e una esterna; di conseguenza un punto esterno non può essere

connesso a uno dei punti interni da una linea continua che non attraversi la curva. Se deformiamo

opportunamente il piano, la circonferenza può diventare, ad esempio, un’ellisse (topologicamente

equivalente alla circonferenza di partenza) e quindi possono variare le caratteristiche metriche,

quali la lunghezza e la forma, ma la proprietà di dividere la superficie a cui appartiene in due

regioni distinte si conserva inalterata; essa è infatti una proprietà topologica. La Matematica

Cap. 3) I problemi di Hilbert (capitolo centrale)

Par. 1) Il Congresso di Parigi del 1900

Il secolo XX si apre, matematicamente parlando, con il congresso ufficiale di matematica tenutosi a

Parigi nel 1900. A tale congresso David Hilbert, matematico tedesco e famoso professore a Gottinga,

presentò una relazione nella quale tentava di prevedere quali sarebbero stati i problemi che

avrebbero impegnato i matematici nel corso del 1900. Ancora oggi i problemi posti da Hilbert sono di

notevole interesse e alcuni devono ancora trovare risposta.

Par. 2) Il primo problema di Hilbert

La prima questione sollevata dal matematico riguardava i numeri reali ed il problema si componeva

di due parti:

1. esiste un numero transfinito compreso tra il numero di un insieme numerabile e il numero del

continuo?

2. il continuo dei numeri reali può essere considerato un insieme ben ordinato?

Il primo quesito può essere compreso solamente dopo una spiegazione sintetica dei numeri

transfiniti.

NUMERI TRASFINITI cardinalità

Due insiemi hanno la stessa se e solo se i loro elementi possono essere messi in

equipotenti.

corrispondenza biunivoca; in tal caso i due insiemi sono Se un insieme è finito, la sua

{ }

cardinalità può essere espressa mediante un numero intero. Ad esempio l’insieme A a ; b ; c ; d ; e

=

ha cardinalità perché ha cinque elementi. L’insieme dei numeri naturali è però infinito, e la

A 5

=

sua cardinalità non può essere espressa con un numero naturale. Si ricorre allora a numeri

transfiniti per esprimere la numerosità anche degli insiemi infiniti. Tali numeri sono necessari

N

perché esistono diversi gradi di infinito. La cardinalità dell’insieme dei numeri naturali è

espressa dal primo numero cardinale transfinito (Aleph-zero), mentre la cardinalità

ℵ 0

R

dell’insieme dei numeri reali è (Aleph-uno).

ℵ

1

Il punto 1 equivale dunque a chiedersi se esista un numero transfinito compreso tra e , dal

ℵ

ℵ 1

0

momento che un insieme si definisce numerabile se i suoi elementi possono essere messi in

N.

corrispondenza biunivoca con gli elementi dell’insieme

L'ipotesi del continuo afferma che non esiste nessun insieme infinito la cui cardinalità sia compresa

strettamente tra quella dell'insieme dei numeri interi e quella dell'insieme dei numeri reali. Goedel e

Cohen hanno dimostrato che l'ipotesi non può essere né dimostrata né confutata. Non esiste un

consenso tra matematici se ciò risolva o meno il problema.

Il punto 2 chiede, in sostanza, se la totalità di tutti i numeri reali possa essere ordinata in un’altra

maniera in modo che ogni insieme parziale possegga un primo elemento. Anche questo problema è

stato affrontato senza però giungere ad una soluzione definitiva.

Par. 3) Il secondo problema di Hilbert

Il secondo problema di Hilbert chiedeva se fosse possibile dimostrare che gli assiomi dell’aritmetica

sono compatibili, ossia che partendo da essi e procedendo attraverso un numero finito di passaggi

logici non si può mai giungere a risultati contraddittori. Dieci anni dopo l’esposizione del problema

Principia matematica

vide la luce il primo volume dei di B. Russell e A. Whitehead, il quale

La Matematica

riformulava le nozioni fondamentali dell’aritmetica a partire da un insieme ben definito di assiomi.

Tale opera era basata sugli assiomi di Peano già descritti e tendeva a far coincidere matematica e

logica. In tale ottica la risposta al secondo problema di Hilbert sembra essere affermativa, ma la

questione non si poteva considerare chiusa.

Nel 1931 infatti, un giovane matematico austriaco, Kurt Goedel, dimostrò il contrario di ciò che

teoremi di Goedel

pareva esser stato scoperto da Russell e Whitehead. I celebri vengono trattati nei

paragrafi seguenti.

Par. 4) Dimostrazione del primo teorema di incompletezza di Goedel

Goedel si proponeva di dimostrare che all’interno di un sistema logico, quale ad esempio quello

dell’aritmetica, vi sono degli enunciati che sono indecidibili, non possono cioè essere né dimostrati né

p

confutati. Goedel prese allora in considerazione un enunciato così definito:

p: “p non può essere dimostrato” p

ed elaborò poi una dimostrazione che portasse a concludere che è indecidibile, il che comporta la

non-coerenza del sistema.

Per comprendere il teorema di Goedel è prima necessario definire alcuni concetti.

FORMA (O FORMULA) DICHIARATIVA

forma dichiarativa, F(x), x.

Si definisce e si indica con una formula che contiene una sola variabile Se

x

a si sostituisce un particolare valore, la forma dichiarativa diviene un enunciato ed è allora

F(x): “x è vero”.

dimostrabile oppure non dimostrabile. Un esempio di forma dichiarativa è

NUMERO DI GOEDEL

numero di Goedel P(F),

Si definisce un numero che identifica una forma dichiarativa, e si indica con

F

dove è la forma dichiarativa.

Procediamo ora con la dimostrazione.

F(x) F(G(F))

Diciamo che una forma dichiarativa è auto-indimostrabile se e solo se non è dimostrabile.

Questo passaggio è subito evidente se consideriamo:

G(F) F

a) come il numero di Goedel che identifica

F(x) F(x): “x ha la proprietà espressa da F”

b) così definita: F(G(F)) “la

A questo punto infatti dire che non è dimostrabile significa dire: non è dimostrabile che

forma associata al numero che identifica la forma F ha la proprietà espressa da F”,

“F ha la proprietà espressa da F”.

ovvero: non è dimostrabile che

F(G(F)) F(x)

Pertanto se non è dimostrabile allora è auto-indimostrabile, cioè afferma la sua stessa

indimostrabilità.

Definiamo ora la seguente forma dichiarativa:

S(z): “z è il numero di Goedel che identifica una forma dichiarativa auto-indimostrabile”

z=G(F) F(x) F(G(F))

In accordo con tale definizione si ha per una qualche forma dichiarativa tale che

non è dimostrabile.

Consideriamo ora la seguente forma dichiarativa:

S(G(S))

Essa equivale a:

“il numero di Goedel che identifica S è il numero di Goedel che identifica una forma auto-indimostrabile”

cioè: S è auto-indimostrabile

S(G(S)) p S(G(S))

E’ ora chiaro che coincide con l’enunciato introdotto all’inizio. Infatti dire che è vero

S(G(S)) p: p p

equivale a dire che non è dimostrabile; lo stesso accade con se è vero non è dimostrabile.

Possiamo allora concludere: p= S(G(S)) (1)

Esaminiamo ora due casi, supponendo di operare in un sistema coerente dal punto di vista logico:

La Matematica

CASO A: p è dimostrabile

p S(G(S)) G(S)

Se è dimostrabile, dunque vero, allora per la (1) è vera anche e dunque

è il numero di Goedel di una forma proposizionale auto-indimostrabile (per come è

S); S

definita dunque è una forma proposizionale auto-indimostrabile. Ciò implica

S(G(S)) p

per la definizione di auto-indimostrabilità che non è dimostrabile e dunque

non è dimostrabile. Si giunge dunque ad una contraddizione con l’ipotesi e pertanto

p

essa è falsa (dimostrazione per assurdo). Conclusione: non è dimostrabile.

CASO B: la negazione di p, cioè ¬p, è dimostrabile

¬p ¬S(G(S))

Se è dimostrabile, dunque vero, allora per la (1) è vera anche e dunque

G(S) non è il numero di Goedel di una forma proposizionale auto-indimostrabile;

S S(G(S))

dunque non è una forma auto-indimostrabile. Ciò implica che è

p p

dimostrabile e dunque è dimostrabile. Se è allora vero, non può essere vero anche

¬p. ¬p

Si giunge dunque ad un’altra contraddizione. Conclusione: non è dimostrabile

p

L’analisi dei due casi porta a concludere che né né il suo contrario possono essere dimostrati.

p

L’enunciato è allora indecidibile, come volevasi dimostrare.

Par. 5) Dimostrazione del secondo teorema di Goedel e conseguenze

p

Sia l'enunciato indecidibile costruito prima, e si assuma che la coerenza del sistema sia dimostrabile

all'interno del sistema stesso (ipotesi). Il primo teorema di Goedel mostra che se il sistema è coerente,

p

allora non è dimostrabile.

"p non è dimostrabile"

L’affermazione può essere dimostrata nel sistema (è ciò che ha fatto il primo

teorema di Goedel). p, p

Ma quest'ultima affermazione è equivalente allo stesso enunciato quindi può essere dimostrato

nel sistema. Questa contraddizione conduce ad un assurdo: il sistema deve essere allora incoerente

(dimostrazione per assurdo).

Questo secondo teorema porta a concludere che vi sono alcuni sistemi che non possono auto-

dimostrare la loro coerenza. Esistono tuttavia dei sistemi assiomatici completi e coerenti. Alcuni

studiosi fanno inoltre notare che le proposizioni indecidibili possono essere risolte aggiungendo dei

nuovi assiomi.

Par. 6) Altri problemi di Hilbert

Le questioni sollevate da Hilbert erano in generale molto complesse. Esse riguardavano ad esempio

β α

α dove è un numero algebrico diverso da zero e da uno e dove

la natura dei numeri della forma

β è un numero irrazionale algebrico.