Tempo e Spazio

Lo Spazio nella

Federica Lionetto storia:

La Teoria della

V A Scientifico 2006/2007 Guerra Fredda

Relatività e “corsa allo

Ristretta spazio”

Il Tempo nella Nascita

biologia: Evoluzione e

ritmi circadiani Destino

e orologio dell’Universo

biologico I buchi neri

L’espansione dell’Universo

Italo Svevo e

“La coscienza di

Zeno” Il tempo

nell’arte: il

Il tempo e lo spazio Cubismo

nella filosofia

James Joyce e

la tecnica del

flusso di coscienza Bergson: Newton:

il rapporto tra la definizione di

“tempo della spazio e tempo

scienza” come coordinate

e assolute

“tempo della

coscienza” 5

La teoria della relatività ristretta:

“Tutte le grandi conquiste scientifiche nascono dalla conoscenza intuitiva, vale a dire da assiomi a

partire dai quali si fanno delle deduzioni… L’intuizione è la condizione necessaria per la scoperta di

questi assiomi.” (Einstein)

“Basterebbe costruire un acceleratore sufficientemente potente da mostrare un effetto relativistico,

ma al tempo stesso non costoso né pericoloso; facendone un giocattolo per bambini di 5, 6 e 7 anni,

la relatività speciale diventerebbe un argomento alla portata di tutti”.

Con l’avvento delle equazioni di Maxwell, delle trasformazioni di Lorentz e della teoria della

relatività di Einstein viene meno il concetto, dato per scontato, di tempo assoluto. La teoria parte

dall’assunto che, se la velocità della luce è una costante, allora il tempo e lo spazio sono due

grandezze variabili.

La teoria della relatività ristretta o speciale, pubblicata da Einstein già nel 1905, parte da due

postulati semplici e quasi immediati, per approdare ad una nuova concezione dello spazio e del

tempo, ma non solo. Gli aggettivi ristretta e speciale indicano che la teoria si riferisce solo ai sistemi

di riferimento inerziali, che si muovono a velocità costante l’uno rispetto all’altro (o rispetto al

sistema di riferimento delle stelle fisse). La necessità pratica è data dai problemi legati alle leggi

dell’elettromagnetismo formulate da Maxwell.

Postulato della relatività:

Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Non esiste un sistema di

riferimento privilegiato.

Postulato della velocità della luce:

La velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore c in tutte le direzioni dello spazio e in tutti i

sistemi di riferimento inerziali.

Il primo postulato, già introdotto da Galileo per quanto riguarda le leggi della meccanica, con

Einstein arriva a comprendere tutte le leggi della fisica, comprese quelle dell’ottica e

6

dell’elettromagnetismo. Le misure effettuate da osservatori diversi, in genere, saranno differenti, ma

le leggi che regolano il “meccanismo di funzionamento” della natura sono le stesse in tutti i sistemi

di riferimento inerziali.

Come scrive Galileo, se ci troviamo in una nave che si muove di moto rettilineo uniforme, non

esiste nessuna legge della meccanica che permetta di determinare se la nave è ferma o in moto.

Possiamo giocare a biliardo senza che ci sia la più piccola differenza rispetto alla terraferma.

Il secondo postulato teorizza l’esistenza di una velocità limite, la velocità della luce nel vuoto, che

può essere raggiunta da particelle prive di massa, ma mai superata. Un corpo dotato di massa,

invece, per quanta energia pensiamo di fornirgli, non può di fatto raggiungere questa velocità limite.

Dalla sua pubblicazione, la teoria della relatività ristretta ha ricevuto continue conferme

sperimentali, dall’esperimento per dimostrare l’esistenza di una velocità limite (condotto da

Bertozzi nel 1964) al problema dei muoni.

Esperimento di Bertozzi (1964):

Il tubo T (in cui è praticato il vuoto spinto) contiene un “cannone elettronico”.

Conoscendo l’energia fornita agli elettroni, possiamo determinarne la velocità?

L’esperimento permette di verificare se la velocità ottenuta sperimentalmente concorda con quella

prevista dalla legge della fisica classica per calcolare l’energia cinetica.

Consideriamo un sistema di riferimento cartesiano e inseriamo sull’asse delle ascisse l’energia

cinetica trasferita agli elettroni (in MeV) e sull’asse delle ordinate il quadrato della velocità (in m/s)

che gli elettroni possono raggiungere grazie all’energia che hanno ricevuto.

Determiniamo l’energia come variabile indipendente e misuriamo la velocità raggiunta dagli

elettroni come variabile dipendente. In base alla formula per calcolare l’energia cinetica

2

K = ½ m v

energia e quadrato della velocità sono proporzionali (la massa degli elettroni è costante). Il grafico

dovrebbe, quindi, rappresentare una retta passante per l’origine.

I dati sperimentali, al contrario, dimostrano che mentre l’energia aumenta, la velocità non cresce

come ci si aspetterebbe e tende a stabilizzarsi su un valore ben preciso. La retta prevista dalla fisica

classica e la curva ottenuta sperimentalmente si sovrappongono e danno gli stessi risultati per

velocità ridotte, ma si discostano sempre più l’una dall’altra per velocità vicine a c (il valore su cui i

dati sperimentali si stabilizzano). 7

L’esperimento di Bertozzi mette in luce che:

1) A velocità elevate la meccanica newtoniana perde la propria validità: abbiamo bisogno di

un’altra legge che permetta di calcolare l’energia cinetica

2) La velocità degli elettroni aumenta all’aumentare dell’energia, ma meno di quanto

dovremmo aspettarci in base alla formula dell’energia cinetica

3) La velocità tende a stabilizzarsi (velocità limite)

4) Possiamo identificare la velocità limite con la velocità della luce

La meccanica newtoniana non prevede questo risultato.

Esperimento con i muoni:

L’esperimento permette di confermare, dal punto di vista sperimentale, la dilatazione relativistica

del tempo. I muoni, semplici particelle generate nell’alta atmosfera terrestre, vivono solo per circa 2

μs prima di decadere e trasformarsi in altre particelle. Muovendosi al 99% della velocità della luce,

la distanza che dovrebbero percorrere è di appena 600 m. Quindi, percorrendo solo 600 metri,

dovrebbero decadere prima di arrivare sulla superficie terrestre. In realtà raggiungono il livello del

mare, cosa che viene interpretata come un aumento della loro vita media a causa dell’alta velocità:

rispetto ad un osservatore posto sulla superficie terrestre, la loro vita media si allunga (perché il loro

tempo scorre più lentamente) e sono quindi in grado di percorrere distanze più grandi di quelle

attese.

La loro vita media, se sono fermi rispetto al sistema di riferimento del laboratorio, è di 2μs. Se sono

in moto, al contrario, la loro vita media si “dilata”, secondo quanto prevede la teoria della relatività

ristretta, passando da 2μs a quasi 16μs.

Sincronizzazione e desincronizzazione:

Definiamo evento un qualcosa che avviene in un certo punto e in un certo istante, in modo

indipendente dal sistema di riferimento preso in esame.

Una delle conseguenze più immediate della teoria è il legame tra spazio e tempo: cade quella

separazione netta tra coordinate spaziali e coordinata temporale prevista dalla fisica classica (con la

conseguente crisi del concetto di simultaneità) e si crea un nuovo sistema di riferimento, formato da

coordinate spazio-temporali. Si parla di spazio-tempo o cronotopo per indicare quel legame

inscindibile tra coordinate spaziali e coordinata temporale.

Un nuovo problema, però, è quello della sincronizzazione di due o più orologi (il moto altera la

sincronizzazione). 8

Come possiamo confrontare orologi lontani l’uno dall’altro? O come possiamo confrontare orologi

in moto l’uno rispetto all’altro?

Consideriamo la sincronizzazione di orologi lontani.

Non possiamo sincronizzarli nello stesso luogo e poi spostarli perché il moto altera il ritmo con cui

scorre il tempo. Dobbiamo prima posizionarli e poi sincronizzarli.

Possiamo considerare una struttura tridimensionale, una specie di quadro svedese, e inserire un

orologio in corrispondenza di ogni intersezione tra le aste del nostro “sistema di riferimento

tridimensionale”. Partendo dall’origine del sistema di riferimento, inviamo un impulso luminoso

(niente viaggia a velocità infinita, prendiamo la velocità della luce come massima possibile) quando

il nostro orologio segna t = 0. Nell’istante in cui ogni punto è raggiunto dal segnale luminoso,

sincronizziamo l’orologio al tempo t = r / c dove r è la distanza del punto dall’origine del sistema di

riferimento. Tutti gli orologi, a questo punto, sono stati sincronizzati.

Dalle trasformazioni di Galileo alle trasformazioni di Lorentz:

Le modifiche apportate da Einstein richiedono l’introduzione di un nuovo sistema di trasformazioni

che, dati due sistemi di riferimento inerziali in moto a velocità relativa costante, permetta di passare

dalle coordinate del punto P nel primo sistema alle coordinate dello stesso punto nel secondo

sistema, tenendo conto dell’impossibilità di raggiungere la velocità della luce o di superarla.

Consideriamo due sistemi di riferimento O e O’, con O’ in moto a velocità costante v rispetto ad O.

I due sistemi di riferimento hanno l’origine in comune all’istante t = 0. O’ si sposta rispetto ad O

lungo l’asse delle x.

Trasformazioni di Galileo:

x’ = x – v t

y’ = y

z’ = z

t’ = t

Trasformazioni di Lorentz:

x’ = γ ( x – v t )

y’ = y

z’ = z 2

t’ = γ ( t – v x / c ) 9

Come mostra la quarta equazione delle trasformazioni di Lorentz, spazio e tempo sono intimamente

legati.

Da queste trasformazioni, che per velocità ridotte rispetto alla velocità della luce si riducono a

quelle della fisica classica, derivano la relatività del tempo e dello spazio, con due effetti di rilievo:

la dilatazione del tempo (confermata dagli esperimenti sugli orologi microscopici, come i muoni, e

sugli orologi macroscopici) e la contrazione della lunghezza.

“La gente non si rende conto di quale grande influenza abbia avuto Lorentz sullo sviluppo della

fisica. Non possiamo immaginare come sarebbe andata se egli non avesse dato tanti contributi

impareggiabili.” (Einstein)

Esperimento con gli orologi macroscopici:

Il risultato finale: due orologi, già sincronizzati, si ritrovano nello stesso punto e non sono più

sincronizzati per il solo effetto del moto non inerziale di uno dei due.

Consideriamo due orologi, uno solidale con S e uno solidale con S’.

Abbiamo un solo confronto tra un orologio solidale con S e un orologio solidale con S’. Se S ed S’

sono due sistemi di riferimento inerziali, si muovono con velocità costante l’uno rispetto all’altro e

non possono subire nessuna accelerazione, quindi non abbiamo la possibilità di un ritorno.

Situazione: un orologio O è fisso in un sistema di riferimento inerziale S, mentre un orologio O’,

inizialmente fermo, inizia a muoversi e ad allontanarsi, per poi raggiungere di nuovo O. L’orologio

O’ ha subito un’accelerazione e non appartiene ad un sistema di riferimento inerziale. O’ sarà in

ritardo rispetto a O, ma non sarà vero il contrario. Si tratta di un esempio più “matematico” per

spiegare il paradosso dei gemelli, la forma suggestiva dei due gemelli che, nati insieme,

invecchiano uno prima dell’altro. Quello rimasto a casa invecchia prima di quello che ha fatto un

lungo viaggio interstellare a velocità paragonabili con quella della luce nel vuoto. L’effetto gemelli

è stato criticato e messo in discussione da fisici e filosofi, come Bergson (paradosso dei gemelli),

non prendendo in considerazione la differenza tra sistema inerziale e non inerziale. L’effetto

gemelli è coerente con la teoria della relatività.

L’esperimento di Michelson e Morley:

L’importanza storica dell’esperimento deriva dal fatto che anticipò di quasi un ventennio la teoria

della relatività. Si pensava all’esistenza di un mezzo, l’etere, che funzionasse da supporto per i

fenomeni ottici ed elettromagnetici, come l’aria è un supporto per le onde acustiche. L’etere sarebbe

10

stato un sistema di riferimento privilegiato, in cui la luce avrebbe dovuto assumere il valore c. In