_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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I due vettori
[math]\vec{a}[/math]
e
[math]\vec{b}[/math]
hanno modulo rispettivamente di
[math]5,0[/math]
e
[math]8,0[/math]
unità. Il vettore
[math]\vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b}[/math]
ha modulo pari a
[math]20[/math]
unità.
  • Calcola l'ampiezza dell'angolo formato dalle direzioni dei due vettori
    [math]\vec{a}[/math]
    e
    [math]\vec{b}[/math]
    .
  • Il vettore
    [math]\vec{d} = \vec{b} \cdot \vec{a}[/math]
    ha lo stesso modulo di
    [math]\vec{c}[/math]
    ?

Svolgimento (1)

Possiamo calcolare il modulo del vettore risultante dal prodotto vettoriale di altri due vettori con la formula

[math]\vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b} = ab \cdot \\sin (\alpha)[/math]

Di conseguenza, se vogliamo calcolare l'ampiezza dell'angolo formato dai due vettori, ricaviamo il seno dell'angolo dalla formula precedente:

[math]\vec{c} = ab \cdot \\sin (\alpha) \to \\sin (\alpha) = \frac{c}{ab} [/math]

Quindi:

[math] \\sin (\alpha) = \frac{c}{ab} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}[/math]

Dalla goniometria, sappiamo che se il seno di un angolo è uguale ad

[math]\frac{1}{2}[/math]
, l'angolo ha un'ampiezza di
[math]30°[/math]
.

Altrimenti, possiamo calcolare, con la calcolatrice, l'angolo a cui corrisponde il seno noto:

[math] \alpha = arc\\sin (\frac{1}{2}) = 30° [/math]

Svolgimento (2)

Il vettore
[math]\vec{d} = \vec{b} \cdot \vec{a}[/math]
ha lo stesso modulo e la stessa direzione del vettore
[math]\vec{c}[/math]
, poiché è dato dalla stessa formula; tuttavia, questo vettore avrà verso opposto, infatti vale la proprietà anticommutativa:

[math] \vec{b} \cdot \vec{a} = - \vec{a} \cdot \vec{b}[/math]
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