_Steven
di _Steven
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{etRating 5}Una biglia lanciata verticalmente verso l'alto raggiunge la massima altezza h. Se nello stesso istante in cui questa viene lanciata si lascia cadere dall'altezza h una seconda biglia di uguale massa sulla stessa verticale, quanto vale l'energia potenziale gravitazionale di ciascuna delle due biglie nel punto d'incontro?

Sia

[math]v[/math]
la velocità  con la quale la biglia a terra parte, e sia
[math]x[/math]
la distanza del punto di incontro delle biglie dal suolo.

Per il moto della biglia che cade, vale

[math]h-x=1/2 \cdot g \cdot t^2[/math]
(1)

Per la seconda biglia

[math]x=vt-1/2 \cdot g \cdot t^2[/math]
(2)

Sommando membro a membro, avremo

[math]h=vt[/math]
(3)

Ora facciamo considerazioni energetiche.

Poichè sappiamo che la biglia lanciata con velocità 

[math]v[/math]
arriva a quota
[math]h[/math]
, possiamo affermare che

[math]2gh=v^2[/math]
ovvero

[math]h=v^2/(2g)[/math]
(4)

per la conservazione dell'energia meccanica.

Ora mettiamo a sistema la (3) e la (4)

[math]\begin{cases} h=vt \\ h=v^2/(2g) \ \end{cases}[/math]

dobbiamo ricavarci la

[math]h[/math]
. Possiamo fare in diversi modi, per esempio quadriamo la prima equazione e dividiamo membro a membro, ottenendo

[math]h=2 \cdot g \cdot t^2[/math]

[math]t^2=h/(2g)[/math]
(5)

Ora andiamo a ripescare la (1)

[math]x=vt-1/2 \cdot g \cdot t^2[/math]

ma poichè abbiamo visto che

[math]vt=h[/math]

abbiamo

[math]x=h-1/2 \cdot g \cdot t^2[/math]
ma sostituendo il valore di
[math]t[/math]
della (5) otteniamo

[math]x=h-1/2 \cdot g \cdot (h/(2g))=h-1/4h=3/4h[/math]

Abbiamo ricavato l'altezza, perciò l'energia potenziale sarà 

[math]U=mg(3/4h)=3/4mgh[/math]

FINE

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