Si data la funzione
[math]f(x)[/math]
definita da
[math]\\sin (\frac{1}{x})[/math]
se [math]x \ne 0[/math]
e [math]0[/math]
se [math]x=0[/math]
.Discutere la derivabilità di
[math]f[/math]
.
[math]f[/math]
è continua anche in [math]x=0[/math]
(altrove non vi sono problemi, per composizione di funzioni continue); infatti
[math]0 \le |x \\sin(\frac{1}{x})| \leq |x|[/math]
e dal Teorema del confronto per i limiti, si ha che
[math]\lim_{x \to 0}x \\sin (\frac{1}{x})=0[/math]
.
La derivata prima in
[math]x=0[/math]
non esiste (altrove, sempre per composizione, [math]f[/math]
è derivabile); infatti
[math]\lim_{h \to 0}\frac{h \\sin(\frac{1}{h})}{h}=\lim_{h \to 0}\\sin(\frac{1}{h})[/math]
non esiste.
Dunque, la funzione data non è derivabile in[math]x=0[/math]
.
