Si mostri che la funzione
[math]f(x)=3x+2+e^{4x}[/math]
è invertibile su tutto [math]RR[/math]
; denotando con [math]g[/math]
la funzione inversa calcolare poi [math]\frac{3}{g'(3)}[/math]
.La funzione data è definita e derivabile in tutto
[math]RR[/math]
; inoltre si ha
[math]f'(x)=3+4e^{4x}>0[/math]
per ogni
[math]x \in RR[/math]
. Dunque [math]f[/math]
strettamente monotona (crescente), quindi invertibile, e [math]f'(x)\ne 0[/math]
per ogni [math]x \in RR[/math]
. Ora si ha [math]f(x)=3[/math]
se e solo se [math]x=0[/math]
e dunque
[math]g'(3)=\frac{1}{f'(0)}=\frac{1}{7}[/math]
da cui
[math]\frac{3}{g'(3)}=21[/math]
.
