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Sintesi
In questo esercizio si richiede di discutere la derivabilità della funzione definita a tratti in questo modo x uguale a zero per x minore di zero e x uguale x al quadrato per x maggiore o uguale di zero
Il grafico rappresentato in questa figura, dal quale risulta abbastanza chiaro che la funzione è derivabile anche su un unico punto in cui potrebbe non esserlo, visto che altrove la funzione è regolare in quanto funzione nulla e potenza rispettivamente.
Calcoliamo, per dimostrare la derivabilità in zero derivata destra e sinistra. Il rapporto incrementale e positivo è dato da h quattro fratto h che tende a zero. Il rapporto incrementale quando h negativo è dato da zero su h, il quale identicamente zero difficilmente tende a zero.
Quindi la funzione data è derivabile anche in x uguale a zero derivata prima, in particolare zero. Osserviamo che la derivata prima è data da zero se x è minore di 0E2XX0 che ha il grafico in figura. Quindi in particolare la derivata prima è continua.
Quindi la funzione data di classe C1 è una funzione derivabile. Quindi possiamo dire che la funzione data non ammette derivata seconda x uguale a zero.
Estratto del documento
DERIVATE IN UNA VARIABILE
ESERCIZIO 10
Discutere la derivabilità della seguenti funzione definita su tutto R:
0 x< 0
f (x) = 2 ≥
x x 0.
Il grafico di f è dato da:
Soluzione.
f è anzitutto continua; inoltre 2
h
0
f (0) = lim = 0,
+ h
+
h→0 0
0
f (0) = lim = 0,
− h
−
h→0
quindi f è derivabile in x = 0 (altrove non vi sono problemi). Osserviamo che la
0
funzione f (x) è data da 0 x< 0
0
f (x) = ≥
2x x 0
il cui grafico è dato dal seguente: 1
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